RE: [obm-l] Maximizando uma Soma de Quadrados

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>]

Meu,nao apela!!!!! Isto ja e classico de Lagrange mas...

 Artur Costa Steiner <artur@opendf.com.br> wrote:

Este é um problema clássico de programação matemática: minimização de
uma função quadrática sujeita a uma restrição linear. O problema tem
solução analítica pelo método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos
considerar uma situação mais geral:

Minimizar c_1 x_1^2 +... c_n x_n^2 sujeito a a_1 x1 + a_n x_n = S, onde
todos os c_i e a_i são postivos. Como temos apenas uma restrição, o
Lagrangeano deste problema é dado por Lag(x_1, ...x_n, L) = c_1 x_1^2
+... c_n x_n^2 - L (a_1 x1 + a_n x_n - S). Igualando-se a zero as
derivadas parciais de Lag com relação aos x_i, obtemos 2 c_i x_i - L a_i
= 0. Logo, x_i = (L a_i)/(2c_i), i=1...n. Igualando -s a zero a derivada
parcial de Lag com relação a L, obtemos a própria restrição do problema.
Para cada i, temos portanto que a_i x_i = (L a_i^2)/(2c_i). Somando-se
estas n igualdades, obtemos S = (L/2) Soma (i=1,n) (a_i^2)/(c_i) e,
consequentemente, L = 2S/[Soma i=1,n) (a_i^2)/(c_i)]. Com isto, L fica
perfeitamente determinado em função dos x_i e dos c_i. Como x_i = (L
a_i)/(2c_i), i=1,...n, o mesmo ocorre para os x_i. Obtemos assim a
solução do problema. Como se trata de um problema quadrático, com
coeficientes postivos, não há necessidade de investigar as condições de
otimalidade de segunda ordem. A função objetivo é convexa, há um único
mímo local que, neste caso, é também global.

No caso inicialmente apresentado, temos a_1 =..a_n =1 e c_1 = ....c_n
=1. Das expressões deduzidas, segue-se que a solução ótima é x_1 =
....x_n = S/n.

Artur

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