a[1]² + a[2]² = a[1]² + (S - a[1])² = 2a[1]² -
2.S.a[1] + S²
traçando o gráfico da parábola vemos claramente que os pontos de máximo
para a[1] em [0, S] é justamente a[1] = 0 ou a[1] = S.
suponha então que, para todo 1 <= k < n, se a[1] + a[2] + ... + a[k]
= S, a[1]^2 + a[2]^2 + ... + a[k]^2 tem máximo quando uma delas é igual a S e
outras são nulas
se
a[1] + a[2] + ... + a[k] + a[k+1] = S
temos que
a[1] + a[2] + ... + a[k] = S - a[k+1]
queremos maximizar:
a[1]^2 + a[2]^2 + ... + a[k]^2 + a[k+1]^2
se fizarmos a[k+1] sabemos que o valor máximo global vai ser, pela hipótese
de indução quando um dos a[1]...a[k] for igual a S - a[k+1] e o resto for 0,
sendo assim, podemos de antemão eliminar todas as variáveis nulas e, sem perda
de generalidade assumir que a[1] = S - a[k+1]
logo caímos novamente no problema de maximizar a soma dos quadrado de duas
variáveis positivas dado que sua soma é fixa, e isso foi exatamente o que
foi feito na parte 1, logo temos que a expressão é maxima quando só uma das
variáveis é maior que 0, o que completa a prova por indução.
segue que para todo n >= 1, para a[i] >= 0 e a[1] + a[2] + ... +
a[n] = S um valor fixo, o maior valor de a[1]^2 + a[2]^2 + ... +
a[n]^2 é S² quando um dos a[i] = S e os demais são 0.
----- Original Message -----
Sent: Thursday, February 20, 2003 4:56
PM
Subject: [obm-l] Maximizando uma Soma de
Quadrados
Caro JP:
Que tal isso aqui?
Queremos maximizar Q = A(1)^2 + ... + A(n)^2 sujeito a:
A(1) + ... + A(n) = S =
constante.
Bom, se os A(i)'s podem ser reais quaisquer,
então a soma dos quadrados é ilimitada. (Tome A(1) = A, A(2) = S-A e
todos os demais A(i)'s = 0 ==> Q = A^2 + (S-A)^2 ==>
ilimitada).
No entanto, se nos restringirmos a A(i)'s
positivos, então eu acho que o valor máximo da soma dos quadrados é atingido
quando um deles é igual a S e os outros iguais a zero. Isso porque f(x1, ...,
xn) = x1^2 + ... + xn^2 é convexa em cada uma das n variáveis e o máximo de
uma função convexa num domínio fechado (que é o nosso caso) é atingido em
algum ponto da fronteira deste domínio.
Nesse caso, Q = S^2.
Por exemplo, se A(1) = A (0 < A < S), A(2)
= S - A, A(k) = 0, para k = 3,...,n então:
Q = A^2 + (S-A)^2 = S^2 - 2*A*S + 2*A^2 = S^2 -
2*A*(S-A) < S^2, pois A e S-A são positivos.
Um abraço,
Claudio.
----- Original Message -----
Sent: Thursday, February 20, 2003 2:19
PM
Subject: Re: [obm-l] Desigualdade
estranhinha
Valeu cara,me matei em algo tao inutil.Mas nao da pra cantar vitoria
afinal temos que maximizar a somatoria dos quadrados quando so sabemos da
soma das primeiras potencias.E isso e dificil....
Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br>
wrote:
Caro JP:
Então, o problema é:
Maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.....+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo
que a soma dos a's e 1.
Nesse caso, acho que cabe a desigualdade do rearranjo:
Suponhamos s.p.d.g. que A(1) <= A(2) <= ... <= A(n).
Pela desig. do rearranjo, vale:
A(1)*A(2) + ... + A(n-1)*A(n) + A(n)*A(1)
<= A(1)^2 + ... + A(n)^2, com igualdade se e somente se os A(i)'s são
todos iguais.
Como a soma deles é 1, eles serão todos
iguais a 1/n ==>
o valor máximo procurado é igual a n *
(1/n)^2 = 1/n.
Repare que não foi necessário supor que os
A(i)'s são positivos, pois a desig. do rearranjo não necessita dessa
hipótese.
Um abraço,
Claudio.
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