Re: [obm-l] forma fechada e integral

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Oi Cláudio,

Bom, fiquei com preguiça e não expliquei
a notação. Tanto o que escrevi quanto o
Rousseau está em \LaTeX. E vc interpretou
certo.

\frac{x}{y} = x / y
\binom{n}{k} = n! / [ k! (n-k)! ] ou \frac{n!}{k!(n-k)!}
\sum_{k\geq0}  soma para todo k >=0
\int_0^1 integral de 0 a 1

Já fui criticado (talvez não seja o bom termo)
aqui pelo uso desta notação. Mas não dou
o braço a torcer: devemos praticar tal
notação aqui. Até porque muitos aqui já
entendem-na.

[]'s
Luís



-----Mensagem Original-----
De: "Cláudio (Prática)" <claudio@praticacorretora.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: quinta-feira, 20 de fevereiro de 2003 15:35
Assunto: Re: [obm-l] forma fechada e integral


> Caro Luís:
>
> Não estou familiarizado com a notação que você usou.
>
> Por acaso, seria isso?
>
>                  infinito
> Soma 1 = SOMA   ((n+1)/(2k+1))*C(n+1,2k+1)
>                   k = 0
>
>                  infinito
> Soma 2 = SOMA  (k/(n+k))*C(n,k)
>                  k = 0
>
>                  infinito
> Soma 3 = SOMA  (2k/(2n+k))*C(n,k)
>                  k = 0
>
> onde:
> C(n,k) = no. de subconjuntos de k elementos de um conjunto de n elementos
>
> Um abraço,
> Claudio.
>
> ----- Original Message -----
> From: "Luis Lopes" <llopes@ensrbr.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Thursday, February 20, 2003 12:55 PM
> Subject: [obm-l] forma fechada e integral
>
>
> > Sauda,c~oes,
> >
> > \sum_k \frac{n+1}{2k+1} \binom{n+1}{2k+1} .
> >
> > \sum_{k\geq0} \frac{k}{n+k} \binom{n}{k} .
> >
> > \sum_{k\geq0} \frac{2k}{2n+k} \binom{n}{k} .
> >
> > Querendo conhecer as formas fechadas
> > (se existentes) das três somas acima,
> > escrevi para o prof. Rousseau.
> >
> > Em função das suas respostas, fiquei sabendo
> > que não existem. Mas não entendi a passagem
> > para a integral e a justificativa decorrente.
> > Para não incomodá-lo MAIS uma vez, gostaria
> > de perguntar antes pra lista (e participar também
> > tais resultados). Talvez a resposta até seja
> > elementar.
> >
> > Cortando algumas partes, aí segue nossa
> > discussão.
> >
> > []'s
> > Luís
> >
> >
> > Dear Cecil,
> >
> > Retaking my CRUX saga, consider problem
> > 2683 whose solution appears in 28(8),
> > December 2002, pp~539--540.
> >
> > Find the value of \lim_{n\to\infty} \left(
> > \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}
> > \frac{n+1}{2k+1} \binom{n+1}{2k+1} \right) .
> > It turns out to be 2.
> >
> > In this problem - as always - I am more
> > interested in a closed form to
> >
> > \sum_k \frac{n+1}{2k+1} \binom{n+1}{2k+1} .
> >
> > As CRUX didn´t mention it, I strongly suspect
> > there is none.
> >
> > Regards,
> > Luis
> >
> > Dear Luis:
> >
> > I would be very surprised if there is
> > a closed form for this.  One can write
> > it rather compactly as an integral, but
> > that doesn't seem to help very much.
> > You can certainly put it in hypergeometric
> > form, but not as far as I know can it
> > be written in a form where the sum can
> > be deduced from one of the classical
> > formulas (Gauss. Dixon, Pfaff-Saalschutz)
> >
> > Cecil
> >
> >
> > %%%%% Segunda mensagem%%%%
> > Luis Lopes wrote:
> >
> > Dear Cecil,
> >
> > I knew already the published solution
> > (similar to yours). .......
> >
> > Again there shouldn´t be any closed form to
> > \sum_{k\geq0} \frac{k}{n+k} \binom{n}{k} .
> >
> > Not to mention
> >
> > \sum_{k\geq0} \frac{2k}{2n+k} \binom{n}{k}
> >
> > Thank you,
> > Luis
> >
> > Dear Luis:
> >
> > The first one is the same as  n \int_0^1 (1+x)^{n-1} x^n dx
> > and I am pretty sure there is no closed form for the integral.
> > The second one is similar.  You could get something for it
> > if you could evaluate \int_0^1 (1+x)^{n-1} x^{2n}  dx,
> > and I believe that this is out of reach.  I haven't tried that
> > hard, but Maple fails to give an evaluation and nothing
> > I have found in Gradshteyn and Ryzhik is helpful.
> >
> > Cecil
> >
> >


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