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1)O produto de 2001 inteiros positivos
distintos possui exatamente 2000 divisores primos distintos. Mostre que podemos
escolher alguns destes 2001 n�meros de modo que seu produto seja um quadrado
perfeito.
Cada um dos 2001 inteiros pode ser escrito da
seguinte forma:
N = P1^X1 * P2^X2 * ... * P2000^X2000, onde os
Pi's s�o primos distintos e os Xi's inteiros n�o negativos.
N � quadrado perfeito <==> cada Xi �
par
Podemos representar cada um dos 2001 inteiros por
um vetor de 2000 componentes, onde a i-�sima componente � 0 se Xi for par e 1 se
Xi for �mpar.
Com esta representa��o, multiplicar dois dos
inteiros equivale a somar os dois vetores correspondentes (mod 2)
(ou seja, 0 + 0 = 1 + 1 = 0 e 1 + 0 = 0
+ 1 = 1).
Consideremos os seguintes casos:
CASO 1:
Algum dos 2001 vetores � o vetor nulo (todas as
componentes = 0) ==>
o N correspondente � quadrado perfeito ==>
o problema est� resolvido.
CASO 2:
Nenhum dos 2001 vetores � o vetor nulo, mas existem
dois vetores iguais ==>
a soma destes dois vetores � o vetor nulo
==>
o produto dos dois inteiros correspondentes �
quadrado perfeito ==>
o problema est� resolvido
CASO 3:
Nenhum dos 2001 vetores � o vetor nulo e os vetores
s�o distintos dois a dois.
Nesse caso, o n�mero de subconjuntos n�o-vazios do
conjunto de 2001 vetores � igual a 2^2001 - 1.
Como cada vetor tem 2000 componentes e cada componente pode ser 0 ou 1, o
n�mero total de vetores distintos � igual a 2^2000 < 2^2001 - 1.
Logo, pelo princ�pio das gavetas, devem existir dois subconjuntos distintos
de vetores tais que a soma de seus elementos (mod 2) � a mesma.
Suponhamos que os subconjuntos sejam:
{U1, U2, ..., Ur, V1, V2, ..., Vs} e {U1, U2, ..., Ur, W1, W2,
..., Wt}',
onde os cada Vi � diferente de cada Wj.
Somas iguais (mod 2) ==>
U1 + ... + Ur + V1 + ... + Vs = U1 + ... + Ur + W1 + ... + Wt (mod 2)
==>
V1 + ... + Vs = W1 + ... + Wt (mod 2) ==>
V1 + ... + Vs + W1 + ... + Ws = 0 (mod 2) ==>
o produto dos (s+t) inteiros correspondentes aos Vi's e aos Wj's � quadrado
perfeito ==>
o problema est� resolvido.
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2)Determine n pertencente aos naturais tais que n^2+2 divida 2+2001n. Inicialmente, temos que: n^2 + 2 <= 2 + 2001n ==>
n^2 - 2001n <= 0 ==>
0 <= n <= 2001.
n = 1 ou 2 (mod 3) ==>
n^2 + 2 = 0 (mod 3) e 2 + 2001n = 2 (mod 3) ==>
3 divide n^2 + 2 e 3 n�o divide 2 + 2001n ==>
n^2 + 2 n�o divide 2 + 2001n ==>
n = 0 (mod 3) (necessariamente) ==>
n = 3m com m natural e 1 <= m <= 667
n^2 + 2 divide 2 + 2001n ==>
n^2 + 2 divide (2 + 2001n) - (n^2 + 2) ==>
n^2 + 2 divide n(2001 - n)
n = 3m ==>
9m^2 + 2 divide 3m(2001 - 3m) ==>
9m^2 + 2 divide 9m(667 - m)
MDC(9m^2 + 2,9) = MDC(2,9) = 1 ==>
9m^2 + 2 divide m(667 - m)
CASO 1: m � par ==>
m = 2p (1 <= p <= 333) ==>
36p^2 + 2 divide 2p(667 - 2p) ==>
18p^2 + 1 divide p(667 - 2p)
MDC(18p^2 + 1,p) = MDC(1,p) = 1 ==>
18p^2 + 1 divide (667 - 2p) ==>
18p^2 + 1 <= 667 - 2p ==>
18p^2 + 2p - 666 <= 0 ==>
9p^2 + p - 333 <= 0 ==>
1 <= p <= 6
Testando estes 6 valores poss�veis de p, achamos que apenas p = 1 satisfaz
a condi��o de divisibilidade ==>
m = 2 ==> n = 6
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CASO 2: m � �mpar ==>
m = 2p+1 (1 <= p <= 333) ==>
36p(p + 1) + 11 divide (2p+1)(667 - 2p - 1) ==>
36p(p + 1) + 11 divide 2(2p + 1)(333 - p)
36p(p + 1) + 11 � �mpar ==>
36p(p + 1) + 11 divide (2p + 1)(333 - p) ==>
p = 333 ou 36p(p + 1) + 11 <= (2p + 1)(333 -
p) ==>
p = 333 ou 38p^2 - 297p - 322 <= 0
==>
p = 333 ou 1 <= p <= 8
p = 333 ==> m = 667 ==> n = 2001
Testando os outros 8 valores poss�veis de p, achamos que apenas p = 1
satisfaz a condi��o de divisibilidade ==>
m = 3 ==> n = 9
Assim, os �nicos naturais n tais que n^2 + 2 divide 2 + 2001n s�o 6, 9 e
2001.
OBS: Se 0 for considerado natural, ent�o claramente n = 0 tamb�m �
solu��o.
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3)Para os inteiros positivos x e y � verdadeira a igualdade 3x^2 + x=
4y^2+y. Mostre que x-y � um quadrado perfeito.
Inicialmente, temos que x > y, pois se x <= y, ent�o 3x^2 + x <=
3y^2 + y < 4y^2 + y ==> contradi��o
Suponhamos que MDC(x,y) = d.
Ent�o: x = a*d e y = b*d com MDC(a,b) = 1
Como x > y, temos que a > b ==> (a - b) <> 0
3a^2d^2 + ad = 4b^2d^2 + bd ==>
3a^2d + a = 4b^2d + b ==>
3a^2d - 3b^2d + a - b = b^2d ==>
3d(a - b)(a + b) + (a - b) = b^2d ==>
(a - b)[3d(a + b) + 1] = b^2d ==>
(a - b) divide b^2d
Mas MDC(a - b,b^2) = 1 ==>
(a - b) divide d ==>
d = k(a - b) ==>
(a - b)[3k(a - b)(a + b) + 1] = b^2k(a - b) ==>
3k(a^2 - b^2) + 1 = b^2k ==>
k(4b^2 - 3a^2) = 1 ==>
k divide 1 ==>
k = 1 ==>
d = a - b
Mas nesse caso:
x = da = (a - b)a = a^2 - ab
y = db = (a - b)b = ab - b^2
Assim:
x - y = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 ==> quadrado perfeito.
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Um abra�o,
Claudio.
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