[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Hurwitz

["leandro" <lrecova@xxxxxxxxxxx>]

Claudio,

Ficou claro sim e achei a sua solucao muito bem elaborada. Eu nao havia
prestado atencao no valor de theta=2*k*pi/n. 

Quanto ao Hurwitz, ele aparece num curso de Teoria de Controle (Livro do
Ogata por exemplo) e os seus polinomios em alguns projetos de filtros
digitais (Processamento de sinais digitais) e filtros analogicos.
(Espero que o Nicolau nao considere meu comentario off-topic). 

Leandro. 

-----Original Message-----
From: Cláudio (Prática) [mailto:claudio@praticacorretora.com.br] 
Sent: Wednesday, February 12, 2003 11:32 AM
To: leandro
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Hurwitz

Caro Leandro:

Veja meus comentários abaixo:

----- Original Message -----
From: "leandro" <lrecova@hotmail.com>
To: "'Cláudio (Prática)'" <claudio@praticacorretora.com.br>
Sent: Wednesday, February 12, 2003 3:19 PM
Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Hurwitz


> Claudio,
>
> Nao sei se meu raciocinio esta correto, mas vamos la:
>
> Seja z=(3+4i)/5. Escrevendo na forma exponencial temos que
>
> Z = 5exp(i.theta)/5 = exp(i*theta) onde theta = arctg(4/3) <> 0.
>
> Portanto, fazendo z^n teremos
>
> Z^n = exp(i*n*theta). Supondo que exista n tal que z^n = 1, entao
> teriamos que
> Z^n = 1 => exp(i*n*theta) = exp(i.0) => n*theta = 0. Como

Aqui está o problema:

exp(i*n*theta) = 1 não implica necessariamente que theta = 0, mas sim
que:
n*theta = 2*k*Pi  (k inteiro) ==> theta = 2*k*Pi/n

theta = 0 é apenas uma das possibilidades (quando k = 0), mas pode ser
que
theta seja algum múltiplo racional e não nulo de 2*Pi  (= (k/n)*2*Pi )

O que o problema quer é justamente que se prove que theta = arctg(4/3)
não é
um múltiplo racional de 2*Pi.


> theta<>0,
> entao restaria n=0. Ou seja, o unico valor que iria satisfazer a
equacao
> seria n = 0. Portanto, nao existira um inteiro positivo n > 0 tal que
> satisfizesse a equacao dada.
>
O que você escreveu acima (n=0 é o único inteiro que faz z^n = 1) é
verdade,
mas faltou a prova.

> Nao sei o teor do enunciado corretamente, mas supondo que eles
pedissem
> pra provar que nao existisse n > 0 tal que satisfizesse a equacao
dada,
> entao esta seria uma outra alternativa. Ou seja, o unico valor seria
> n=0, o que nos sabemos que sempre iria satisfazer a equacao.
>

Espero ter sido claro.

Um abraço,
Claudio.
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