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[obm-l] =?Windows-1252?Q?Re:_=5Bobm-l=5D_M=E1ximos_e_M=EDnimos_SEM_DERIVADAS?=
Uma solução diferente da do Prof. Morgado usa o seguinte fato:
"Se y > 0, então y + 1/y >=2, com igualdade se e somente se y = 1"
Demonstração:
(y-1)^2 >= 0 ==> y^2 - 2y + 1 >=0 ==>
y^2 + 1 >= 2y ==> (dividindo por y, que é > 0) y + 1/y >= 2.
Além disso, é fácil ver que a primeira desigualdade vira uma igualdade se e
somente se y = 1. Logo, a última também.
Conclusão: o valor mínimo de y + 1/y para y > 0 é igual a 2 (e ocorre se e
seomente se y = 1)
*********
Agora, a idéia é usar uma mudança de variáveis da forma x = ay, onde "a" é
uma constante real positiva, a fim de obter uma expressão da forma: b(y +
1/y)
Assim, 5x + 16/x = 5ay + 16/(ay) = b(y + 1/y) ==>
5a = b e 16/a = b ==> 5a = 16/a ==> a^2 = 16/5 ==>
a = 4/raiz(5) ==> b = 5a = 20/raiz(5) = 4raiz(5)
Logo, a sua expressão E = 5x + 16/x + 21 torna-se E = 4raiz(5)(y + 1/y) +
21.
Como o valor mínimo de y + 1/y é 2, você pode concluir que o valor mínimo de
E é 8raiz(5) + 21, ou, como o Prof. Morgado expressou, raiz(320) + 21.
Como exercício, tente achar o valor mínimo de:
F = 4y^2 + 8y + 12/y + 9/y^2 + 1
(derivando e igualando a zero você cai numa equação de quarto grau !!!)
Um abraço,
Claudio.
----- Original Message -----
From: "Thyago Alexandre Kufner" <t@jovem.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, February 05, 2003 7:28 PM
Subject: [obm-l] Máximos e Mínimos SEM DERIVADAS
Olá colegas da lista
Recebi o seguinte exercício de um aluno:
"Sendo x um nº positivo determine o menor valor de E= 5x + 16/x + 21"
Normal, um exercício simples. Deriva, iguala a zero ...
Mas o que quero propor para a lista é o seguinte: tem como chegar ao
resultado SEM UTILIZAR CÁLCULO?
Proponho esta discussão por causa do seguinte artigo:
http://mathcircle.berkeley.edu/BMC4/Handouts/MaxMin.pdf
Aguardo resposta
Atenciosamente
Prof. Thyago
WebMaster cursinho.hpg.com.br
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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