[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Olá Ricardo e demais participantes desta discussão!

Considere o conjunto de todas as permutações de (1234): (1243), (3214), ...
cada permutação dessas pode ser representada com uma bijeção
f:{1,2,3,4}->{1,2,3,4}. Por exemplo, em (1243) a função seria f(1)=1,
f(2)=2, f(3)=4, f(4)=3. Pode-se pensar, então, em construir uma operação com
as permutações, através da composição de funções. Vou dar um exemplo

(1243) é representado por f(1)=1, f(2)=2, f(3)=4, f(4)=3
(3214) é representado por g(1)=3, g(2)=2, g(3)=1, g(4)=4
(1243) * (3241) é representado pela composta h = f o g, h(1)=4, h(2)=2,
h(3)=1, h(4)=3
portanto (1243) * (3241) = (4213)

Das operações tradicionais com funções, se conclui que "*" é associativa
a*(b*c)=(a*b)*c, não é em geral comutativa, se considerarmos identidade = i
= (1234) temos a * i = i * a = a para todo a e toda permutação tem uma
inversa a^(-1) tal que a * a^(-1) = a^(-1) * a = i.

Vamos definir uma função N:permutações->naturais que conta numa determinada
permutação p, quantos são os pares de números da esquerda para a direita na
permutação estão com o primeiro elemento maior. Em (1234) temos cada par na
ordem certa, portanto N(1234)=0. Em (3241), temos os pares (32), (31), (21),
(41) com o primeiro elemento maior portanto N(3241)=4. Agora temos um
resultado que é simples

LEMA. Cada vez que trocamos dois números de posição numa permutação p e
obtemos uma nova permutação p', o número N(p)-N(p') é ímpar. (por exemplo,
de p=(1234) com N(p) = 0 substituinto 1 e 3, obtemos p'=(3214) com N(p')=3)

Com base neste lema fazemos a seguinte definição, que é consistente

DEFINIÇÃO. Dizemos que uma permutação p é PAR (ÍMPAR) se a quantidade de
trocas que se precisa fazer com seus elementos para se chegar à i =
identidade é PAR (ÍMPAR). Ou o que é no mesmo, p é PAR (ÍMPAR) se N(p) é um
número PAR (ÍMPAR).

O sgn(p) = 1 se p é PAR e -1 se p é ÍMPAR.

Pode-se mostrar que para cada permutação p, existe uma matriz M (reordenação
das colunas da identidade) que seu efeito sobre um vetor da base canônica é
o mesmo que de p sobre o seu índice M(e_i) = e_(f(i)) onde f é a função
associada a p, e que det(M) = sgn(p). A composição de matrizes se relaciona
com a composição de funções, e daí sgn(a*b)=sgn(a)*sgn(b).

Espero ter ajudado!
Eduardo.


From: RICARDO CHAVES

Esse tal de signum da permutaçao e voce fazer o produtorio

>From: JoaoCarlos_Junior@net.ms.gov.br
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e
ímpares
>Date: Wed, 5 Feb 2003 07:10:34 -0400
>
>
> "Cláudio \(Prática\)"
>
> ora.com.br> cc:
> Enviado Por: Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações
> owner-obm-l@sucuri.mat pares e ímpares
> .puc-rio.br
>
>
> 04/02/2003 06:12
> Favor responder a
> obm-l
>
>
>
>
>
>
>
>
> Querido Cláudio,
>
>
>
> Obrigado! Com sinceridade, obrigado! O conhecimento real, presente, é
>
> o que possuímos, fora isto, estamos no passado. Por isso, agradeço sua
>
> colaboração, com a qual atualizo-me e avanço.
>
> Cláudio, não sei a definição de permutações pares e ímpares, não sei
>
> quando o sinal ? sgn(p) - será positivo ou negativo.
>
> Desta forma, gostaria de receber mais de suas belas explicações.
>
> Desde já, muito grato, João Carlos.
> O signum e uma especie de produtorio com uns termos do tipo p(x)-p(y)/x-y
.
>
>
>Caro João Carlos:
>
>A fórmula geral para o determinante de uma matriz A (n x n) é a seguinte:
>
>det(A) = SOMATÓRIO sgn(p) * A(1,p(1)) * A(2,p(2)) * ... * A(n,p(n))
> p em Sn
>
>onde A(i,j) é o elemento da linha i e coluna j, sgn(p) = sinal da
>permutação
>"p" (+1 se p é par, -1 se p
>é ímopar) e onde a soma é tomada sobre cada permutação p dos números 1, 2,
>..., n (o conjunto de todas estas permutações é comumente denominado Sn)
>ou
>seja, é uma soma de n! termos, cada um deles igual ao produto de n
>elementos
>da matriz.
>
>Assim, para n >= 4 esta fórmula, apesar de correta (é, de fato, a definição
>de determinante) é muito trabalhosa de se aplicar. No entanto, existem
>alguns teoremas sobre determinantes - tais como expansão de Laplace ou
>sobre
>o efeito de operações elementares com linhas e colunas - que permitem que
>você reduza o problema ao cálculo de determinantes de ordem menor.
>
>O que deve estar acontecendo é que, com n >= 4, o número de termos é >= 24
>e
>talvez você esteja esquecendo algum termo ou trocando algum sinal.
>
>Espero que isso ajude.
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
>
>----- Original Message -----
>From:
>To:
>Sent: Monday, February 03, 2003 4:08 PM
>Subject: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares
>
>
>No volume 3, A Matemática do Ensino Médio da SBM, p. 137, há regra de
>cálculo determinantes por meio de permutações pares e ímpares. Porém, não
>estou conseguindo aplicá-la para matrizes quadradas de ordem maior ou igual
>a 4. Expliquem-me.
>
>
> ATT. João Carlos
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é
>=========================================================================
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é
>=========================================================================
>
>
>
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é
>=========================================================================



MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora. smart spam
protection and 2 months FREE*
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta
lista é
=========================================================================

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================