[obm-l] Truângulos não-obtusângulos

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Paulo:

Segue minha solução para o seguinte problema. Acho que a minha idéia inicial
é correta, mas posso ter me enrolado nas somas no final...

Num conjunto de 100 numeros naturais, dois a dois distintos, verifica-se que
quaisquer 3 numeros ( iguais ou nao ) podem ser os lados de um triangulo nao
obtusangulo ( que nao tem um angulo maior que 90 graus ). Seja A a soma de
todos os perimetros de todos os triangulos ( isosceles, equilateros e
escalenos ) que podem ser construidos com estes 100 numeros. Qual o valor
minimo que A pode ter ?

Chame o conjunto de X, e suponha que seus elementos estão ordenados:
a1 < a2 < ... < a100.

O triângulo com lados (a1,a1,a100) é não-obtusângulo ==> todos os outros
triângulos são não-obtusângulos e, além disso:
a100^2 = a1^2 + a1^2 - 2*a1^2*cos(A) <= a1^2 + a1^2 - 2*a1^2*cos(Pi/2) =
a1^2 + a1^2  ==>
a100 <= a1*raiz(2)

A menor soma dos perímetros irá corresponder aos menores lados. Isso implica
que os elementos de X são naturais consecutivos e a1 é o menor natural N tal
que N+99 <= N*raiz(2)  ==>
(N+99)^2 <= 2*N^2  ==>
N^2 - 198*N - 9801 >= 0  ==>
N >= 99 + 99*raiz(2) ==> N = 240

Assim, X = {240, 241, ..., 339 }  ==>
S = soma dos elementos de X = 28.950.

Sejam:
E = soma dos perímetros dos equiláteros
I = soma dos perímetros dos isósceles não-equiláteros
C = soma dos perímetros dos escalenos

Então:
E = 3*S = 86.850
I = 99*2*S + 100*S - S = 297*S = 8.598.150
C = C(99,2)*S = 4.851*S = 140.436.450

Logo, A >= E + I + C = 149.121.450


Um abraço,
Claudio.




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