Re: [obm-l] O armario e o corredor

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Hi Salvador e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Gostei do problema. Voce pode falar mais um pouco sobre ele ? Se eu 
resolve-lo ou conseguir algum progresso significativo mostro ao Conway e 
publico aqui nesta lista.

Desde agradeco.

Um abraco
Paulo Santa Rita
6,1043,310103

>From: Salvador Addas Zanata <sazanata@ime.usp.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] O armario e o corredor
>Date: Thu, 30 Jan 2003 22:45:50 -0200 (EDT)
>
>
>
>Caros amigos,
>
>Um problema pelo que eu sei, em aberto, relacionado a esse consiste no
>seguinte:
>
>Dado um corredor com 1 metro de largura, que faz uma "curva" de 90 graus e
>continua com a mesma largura, qual e a maior area possivel que pode fazer
>essa curva? Observe que o formato dessa area pode ser qualquer, e
>obviamente ela e suposta rigida. E claro que o maior segmento que essa
>area contem e limitado, mas isso nao ajuda muito.
>
>O John Conway fez algumas coisas parciais sobre isso.
>
>
>Abraco,
>
>
>Salvador
>
>
>
>On Thu, 30 Jan 2003, Paulo Santa Rita wrote:
>
> > Ola Claudio e demais
> > colegas desta lista ... OBM-L,
> >
> > Resposta correta ! Com sinceridade alertei que o problema, nao obstante
> > simples, tinha uma solucao surpreendente !
> >
> > Em verdade esse problema me foi sugerido em uma mudanca la em casa, 
>quando
> > eu ainda era menino : meu pai e tios tentavam arrastar um grande armario
> > atraves de um corredor em forma de "L", quando entao os sucessivos 
>fracassos
> > os levaram a suspeitar que era impossivel, sem saberem justificar.
> >
> > Provando ( Garantindo ! Ele nao conhecem Calculo. ) que era impossivel, 
>eu
> > os convenci a desmontarem o armario, previamente. So depois de muitos 
>anos
> > vim a saber que havia um problema de Calculo Diferencial muito parecido.
> >
> > Eu nao acompanhei todos os calculos que voce efetuou, mas a ideia 
>contida no
> > fragmento abaixo esta correta e e o "insight" que mata a questao. Se
> > eventualmente houver algum erro no algebrismos ( na burocracia ) e sem
> > duvida apenas uma desatencao.
> >
> > Vou propor agora um problema que nao e facil. Para que ele possa ser
> > digerido, vou coloca-lo na forma de sub-problemas :
> >
> > PROBLEMA : Seja Q um quadrado de lado unitario. Mostre que, qualquer que
> > seja a forma como colocarmos no interio de Q dois outros quadrados de 
>lados
> > L1 e L2, se L1 + L2 > 1 entao estes dois outros quadrados terao ao menos 
>um
> > ponto em comum.
> >
> > Esse e um dos problemas do Paul Erdos. Ja foi proposto aqui nesta lista.
> > A ideia e encontrar uma demonstracao rigorosa, analitica, que nao lance 
>mao
> > de intuicoes geometricas contestaveis.
> >
> > SUGESTAO : Podemos representar Q como a regiao do R^2 na qual as 
>coordenas
> > (X,Y) de qualquer ponto obedece as condicoes :
> >
> > 0 =< X =< 1
> > 0 =< Y =< 1
> >
> > Precisamos encontrar uma maneira de garantir que os quadrados de lados 
>L1 e
> > L2 estejam confinados em Q. Convencionemos, pois, que :
> >
> > 1) O quadrado de lado L1 (L2) tem vertices ABCD (EFGH) com o lado AD 
>(EH)
> > inclinado de ALF (BET) em relacao aos eixo das abscissas.
> > 2) "A" ("E") e o vertice de menor ordenada. Se dois vertices tiverem a 
>mesma
> > menor ordenada, "A" ("E") sera o de menor abscissa
> > 3) As coordenadas de um vertice serao indexadas pela letra do vertice 
>que
> > representam. Assim : A=(Xa,Ya), E=(Xe,Ye)
> >
> > Note que acima fizemos tao somente convencoes, vale dizer, essas 
>notacoes
> > nao impoe nenhuma restricao a generalidade que o problema requer, dado 
>que
> > serao adotadas apos o "desenho" dos quadrados. por outro lado, e claro 
>que :
> > 0 =< ALF,BET < pi/2.
> >
> > Isto posto, adotamos qualquer vertice como referencia e exprimimos os 
>demais
> > em funcao dele. Assim ( adotando "A" como origem ) :
> >
> > D-A=L1*(cos(ALF),sen(ALF))
> > C-A=L1*(cos(ALF)-sen(ALF),cos(ALF)+sen(ALF))
> > B-A=L1*(-sen(ALF),cos(ALF))
> >
> > Substituindo os vertices por suas coordenadas, exprimindo todas em 
>funcao
> > das coordenadas do vertice "A" e lembrando que estes vertices devem 
>estar na
> > regiao Q, isto e, entre 0 e 1, a intersecao das inequecoes resultantes
> > fornecera :
> >
> > L1*sen(ALF) =< Xa =< 1 - L1*cos(ALF)
> > 0 =< Ya =< 1 - L1*(sen(ALF) + cos(ALF))
> >
> > Estas sao as CONDICOES DE CONFINAMENTO, vale dizer, qualquer que seja L1 
>e
> > qualquer que seja L1, as coordenadas do vertice "A" devem satisfazer as
> > condicoes acima para que o quadrado ABCD esteja contido na regiao Q.
> > Claramente que uma relacao analogo vale para o quadrado EFGH, isto e :
> >
> > L2*sen(BET) =< Xe =< 1 - L2*cos(BET)
> > 0 =< Ye =< 1 - L2*(sen(BET) + cos(BET))
> >
> > Bom, agora nos temos quase tudo para dar uma solucao elegante ao 
>problema do
> > Erdos. Vamos mostrar que L1+L2 > 1 e contaditorio com as condicoes de
> > confinamento.
> >
> > PRIMEIRO SUB-PROBLEMA : Prove que existe um intervalo fechado [m,n], 
>[m,n]
> > contido em [0,1], tal que qualquer reta vertical X=K que passa por [m,n]
> > passa tambem no interior dos dois quadrados.
> >
> > SUGESTAO : Observe que provar a afirmacao acima e o mesmo que dizer que 
>os
> > quadrados tem pontos com a mesma abscissa. Para provar isso suponha que 
>Xa e
> > diferente de Xe ( Se Xa = Xe, X=Xa e uma reta que atende as condicoes e 
>a
> > demonstracao esta conluida ). Sem perda de generalidade suponha Xa < Xe.
> > Calcule a abscissa do ponto de maior abscissa de ABCD e a abscissa do 
>ponto
> > de menor abscissa de EFGH. Monte dois intervalos : [Xa, maior abscissa],
> > [menor abscissa, Xe]. Prove que se L1+L2 > 1 os intervalos nao podem ser
> > disjuntos.
> >
> > O segundo sub-problema e tomar todas as retas que passam pela regiao de
> > mesmas abscissas e mostrar que alguma(s) passa(m) SIMULTANEAMENTE no
> > interior dos dois quadrados, vale dizer, vamos analiticamente "subir a 
>reta"
> > e ver o que acontece la em cima
> >
> > Um Abraco a todos !
> > Paulo Santa Rita
> > 5,1802,300103
> >
> > >From: "Cláudio \(Prática\)" <claudio@praticacorretora.com.br>
> > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > >Subject: Re: [obm-l] O armario e o corredor
> > >Date: Thu, 30 Jan 2003 15:53:36 -0200
> > >
> > >Caro Paulo e demais colegas da lista:
> > >
> > >O maior comprimento de vareta que pode fazer a curva é igual ao
> > > >comprimento do menor segmento com extremidades em OA e OB que 
>contenha
> > > >O'. Suponha que o segmento seja MN, com M em OA e N em OB.
> >
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