Re: [obm-l] O armario e o corredor

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Paulo e demais colegas da lista:

O maior comprimento de vareta que pode fazer a curva é igual ao comprimento
do menor segmento com extremidades em OA e OB que contenha O'. Suponha que o
segmento seja MN, com M em OA e N em OB.

Ponha m(MO') = x e m(O'N) = y.

Então, queremos minimizar L(x,y) = x + y = m(MN)   (x > 0 e y > 0)

MN contém O'. Assim, chamando de P o ponto de OM tal que m(OP) = b e de Q o
ponto de ON tal que m(OQ) = a, teremos que m(MP) = raiz(x^2 - a^2) e que os
triângulos MPO' e O'QN são semelhantes.
Assim: m(MP)/m(MO') = m(O'Q)/m(O'N) ==>
raiz(x^2-a^2)/x = b/y ==>
1 - a^2/x^2 = b^2/y^2 ==>
a^2/x^2 + b^2/y^2 = 1   (i)

Diferenciando esta última expressão, teremos: -2*a^2/x^3*dx - 2*b^2/y^3*dy =
0.

Resolvendo para dy:  dy = -(a^2/b^2)*(y^3/x^3)*dx   (ii)

L(x,y) é mínimo ==> dL = dx + dy = 0  ==>  dy = -dx   (iii)

(ii) e (iii) ==> (a^2/b^2)*(y^3/x^3) = 1  ==>  y^3 = (b^2/a^2)*x^3  ==>
y = (b/a)^(2/3) * x  ==>  y^2 = (b/a)^(4/3) * x^2   (iv)

(i) e (iv) ==> a^2/x^2 + b^2/[(b/a)^(4/3) * x^2] = 1  ==>
x = a^(2/3) * raiz[a^(2/3) + b^(2/3)]

Analogamente, achamos y = b^(2/3) * raiz[a^(2/3) + b^(2/3)]

Assim, L(min) = x + y = [a^(2/3) + b^(2/3)]^(3/2).

Falta checar que este valor de L é realmente o mínimo, mas isso vem do fato
que L é uma função infinitamente diferenciável de (0,+infinito) x
(0,+infinito) em R, a qual é ilimitada superiormente e com as segundas
derivadas identicamente nulas. Assim, dL = 0 ==> L é mínimo.

De fato, é surpreendente que num problema onde toda a geometria é linear
apareçam comprimentos elevados a 2/3.

***************

Eu me pergunto se existe alguma solução para esse problema sem usar cálculo,
mas apenas alguma desigualdade.

Por exemplo, se o problema fosse:

Minimizar L(x,y) = x + y   x, y > 0
Sujeito a:  a/x + b/y = 1

Poderíamos escrever:

L = x + y = (x+y)*1 = (x+y)*(a/x + b/y) = a + b + a*(y/x) + b*(x/y).

Pondo t = y/x ==>
L = a + b + a*t + b/t =
= a + b + raiz(a*b)*[raiz(a/b)*t + 1/(raiz(a*b)*t)]

Pondo u = raiz(a/b)*t ==>
= a + b + raiz(a*b)*(u + 1/u) >= a + b + 2*raiz(a*b),
com igualdade <==> u = 1 <==> raiz(a/b)*(y/x) = 1 <==>
y = x*raiz(b/a) ==> x = a + raiz(a*b)  e   y = b + raiz*a*b)

Assim, L(min) = a + b + 2*raiz(a*b), com:
x = a + raiz(a*b)  e   y = b + raiz*a*b)

No entanto, não consegui encontrar uma solução correspondente para o seu
problema.


Um abraço,
Claudio.



----- Original Message -----
From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, January 30, 2003 9:08 AM
Subject: [obm-l] O armario e o corredor


Ola pessoal !

O problema abaixo deve ser do conhecimento de muitos de voces ... Ele e
facil, mas tem uma resposta surpreendente :

PROBLEMA : ( Descricao do Corredor ) Sobre uma mesa desenha-se um angulo
reto AOB. Tomando um ponto O' no interior deste angulo, desenhamos o angulo
reto A'O'B'. A distancia entre os segmentos paralelos OA e O'A' e "a" e a
distancia entre os segmentos paralelos OB e O'B' e "b". Qual e o comprimento
maximo que uma vareta CD ( o Armario ) pode possuir de forma que ela possa,
deslizando sobre a mesa, entrar em AA' e sair em BB' ?

OBS : O comprimento maximo de CD deve ser dado em funcao de "a" e "b"

SUGESTAO : Encoste a vareta em O'. Surgira um angulo entre a vareta e o
segmento O'A' ( ou entre O'B'. Voce escolhe ). Expresse o comprimento da
vareta em funcao do angulo, de "a" e de "b".

Um Abraco a todos
Paulo Santa Rita
5,0905,300103







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