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Interessante esse problema. Acho que dá pra provar um resultado mais abrangente:
Dada a relação de recorrência: a(n+1) = 2*a(1)*a(n)
+ a(n-1), as condições a(0) = 100 e a(100) = 0 só são factíveis se a(1) =
0.
Seja n >= 2. Então: a(n) - a(n-2) =
2*a(1)*a(n-1)
Se a(1) <> 0 então:
a(2) - a(0) = 2*a(1)*a(1) > 0 ==> a(2) >
a(0) = 100
Suponhamos inicialmente que a(1) > 0. Nesse
caso:
a(3) - a(1) = 2*a(1)*a(2) > 0 ==> a(3) >
a(1) > 0
a(4) - a(2) = 2*a(1)*a(3) > 0 ==> a(4) >
a(2) > a(0) = 100
a(5) - a(3) = 2*a(1)*a(4) > 0 ==> a(5) >
a(3) > a(1) > 0
a(6) - a(4) = 2*a(1)*a(5) > 0 ==> a(6) >
a(4) > a(2) > a(0) = 100
......
Hipótese de indução:
Para todo k com 1 <= k <= n-1,
teremos:
0 < a(0) < a(2) < ... < a(2k)
e 0 < a(1) < a(3) < ... < a(2k-1)
Seja k = n. Então:
a(2n) - a(2n-2) = 2*a(1)*a(2n-1)
(i)
e
a(2n-1) - a(2n-3) =
2*a(1)*a(2n-2) (ii)
Pela H.I., a(2n-3) = a(2*(n-1) -1) > a(1) >
0 e a(2n-2) = a(2*(n-1)) > 0.
Logo, usando (ii), concluímos que a(2n-1) >
a(2n-3) > 0.
Daí e de (i) vem que a(2n) > a(2n-2) >
0
Portanto, por indução, concluímos que os tanto
os termos de de ordem par quanto os de ordem ímpar formam uma subseqûencia
crescente. Assim, 0 = a(100) > a(0) = 100 ==> contradição ==> a(1)
<= 0.
Suponhamos agora que a(1) < 0. Nesse
caso:
a(3) - a(1) = 2*a(1)*a(2) < 0 ==>
a(3) < a(1) < 0
a(4) - a(2) = 2*a(1)*a(3) > 0 ==> a(4) >
a(2) > a(0) = 100
a(5) - a(3) = 2*a(1)*a(4) < 0 ==>
a(5) < a(3) < a(1) < 0
a(6) - a(4) = 2*a(1)*a(5) > 0 ==> a(6) >
a(4) > a(2) > a(0) = 100
De forma análoga ao caso anterior, concluímos,
por indução, que os termos de ordem ímpar formam uma subsequência
decrescente (e de termos negativos) e os de ordem par formam uma subsequência
crescente. Assim, da mesma forma que antes, 0 = a(100) > a(0) = 100 ==>
contradição ==> a(1) >= 0.
Logo, só pode ser a(1) = 0.
Assim, a relação de recorrência fica: a(n) =
2*a(1)*a(n-1) + a(n-2) ==> a(n) = a(n-2)
Com as condições: a(0) = 100 e a(1) = 0, teremos:
a(2n) = 100 e a(2n-1) = 0, para todo inteiro não
negativo n.
Assim:
a) | a(1) | = 0 <= 1
b) a(2003) = a(2*1001+1) = 0.
Um abraço,
Claudio.
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