[obm-l] RE: [obm-l] funções compostas

["leandro" <lrecova@xxxxxxxxxxx>]

Eduardo,

Nesse tipo de questao, voce tem que usar a identidade:

(x + 1/x) ^ 2 = x^2 + (1/x)^2 + 2 

Chame de (x+1/x) = t, entao, t^2-2 = x^2+(1/x)^2. Com isso, o problema
fica simples. 

Entao,

(f0g)(x) = 3^[(x^2) + (1/x)^2] 
(h0f)(x) = 81/(f(x)) = 3^4/(3^(x+1/x)) 

Usando a identidade que lhe mostrei anteriormente voce tera 

(f0g)(t) = 3^(t^2-2)
(h0f)(t) = 3^(4-t) 

Igualando ambas, teremos que t^2-2 = 4 - t ou ainda, t^2 + t -6 = 0.
Resolvendo, voce obtem t=-3 ou t=2. Portanto, x e dado por 

x = (-3+sqrt(5))/2
x = (-3-sqrt(5))/2
x = 1

Portanto, o conjunto solucao esta entre [-6,1]. Letra (c). 

-----Original Message-----
From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Tertuliano
Carneiro
Sent: Tuesday, January 28, 2003 9:52 AM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] funções compostas

 --- Eduardo Henrique Leitner <ehl@netbank.com.br>
escreveu: > (ITA-92) Considere as funções: f: R* -> R,
g: R -> R
> e h: R* -> R definidas por:
> 
> f(x) = (tres elevado a x) + (1/x) , g(x) = x² , h(x)
> = (81/x)
> 
> O conjunto dos valores de x em R* tais que (fog)(x)
> = (hof)(x) é subconjunto de:
> a) [0,3]
> b) [3,7]
> c) [-6,1]
> d) [-2,2]
> e) n.d.a
> 
> 
> 
> eu tentei calcular (fog)(x) e (hof)(x) e igualar os
> dois... mas cheguei à uma equação que, putz, sem
> comentários...
> 
> alguém pode me ajudar?




Estive olhando o problema.Como nao estava saindo,
resolvi verificar e descobri que, na verdade,     
f(x)= 3^(x + 1/x) e nao como vc colocou acima. Vc pode
dar uma olhada no site do estudemais, se quiser.
Agora o problema fica mais fácil. Se vc nao se
importar, aí vai uma solucao:

Fazendo f(g(x))= h(f(x)) teremos uma eq. exponencial
que, por sua vez, vai resultar na seguinte eq.:

     		x^4+x³-4x²+x+1=0

Como 1 é raiz dupla, vc recai em uma eq. de grau 2
cujas raizes sao (-3-sqrt5)/2 e (-3+sqrt5)/2. Logo, as
raizes sao subconjunto de [-6,1].


Tertuliano Carneiro.
    

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