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[obm-l] AABBCC numa tabela 3x3



Title:
Caros Rafael e Profs. Thyago e Morgado:
 
Realmente, sou for�ado a concordar com voc�s que a resposta certa � 3348. Na minha solu��o eu cometi um erro ao calcular o n�mero de configura��es com apenas um par de letras iguais na mesma coluna.
 
Segue a solu��o correta (que, pelo menos, � diferente daquela apresentada pelo Thyago).
 
Um abra�o,
Claudio.
 
******************
 
De quantos modos se pode colocar na tabela
abaixo duas letras A, duas letras B e duas letras C,
uma em cada casa, de modo que n�o haja duas letras
iguais na mesma coluna?
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|_|_|_|
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1. No. de maneiras de colocar as 6 letras sem restri��o:
- Escolha das posi��es para os A's dentre as 9 poss�veis: C(9,2) = 36
- Escolha das posi��es para os B's dentre as 7 restantes: C(7,2) = 21
- Escolha das posi��es para os C's dentre as 5 restantes: C(5,2) = 10
TOTAL = 36 * 21 * 10 = 7560
 
Agora, a id�ia � subtrair as configura��es com duas letras iguais na mesma coluna.
 
2. No. de configura��es com A's, B's e C's numa mesma coluna:
- Escolha da coluna dos A's: 3
- Escolha das posi��es dos A's na coluna: 3
- Escolha da coluna dos B's: 2
- Escolha das posi��es dos B's na coluna: 3
- Escolha da coluna dos C's: 1
- Escolha das posi��es dos C's na coluna: 3
TOTAL = 3 * 3 * 2 * 3 * 1 * 3 = 162
 
3. No. de configura��es com A's e B's numa mesma coluna mas com os C's em colunas distintas:
- Escolha da coluna dos A's: 3
- Escolha das posi��es dos A's na coluna: 3
- Escolha da coluna dos B's: 2
- Escolha das posi��es dos B's na coluna: 3
 
- Escolhas das posi��es dos C's sem restri��o, dentre as 5 restantes: C(5,2) = 10
- N�mero de posi��es com os dois C's na mesma coluna: 3
==> No. de posi��es com os C's em colunas distintas = 10 - 3 = 7
TOTAL: 3 * 3 * 2 * 3 * 7 = 378
 
3.1. De forma an�loga, o no. de configura��es com apenas A's e C's numa mesma coluna e com apenas B's e C's numa mesma coluna tamb�m � igual a 378.
Assim:
NO. DE CONFIGURA��ES COM APENAS DUAS LETRAS NUMA MESMA COLUNA = 3 * 378 = 1134
 
4. No. de configura��es com os dois A's numa mesma coluna mas com os B's e os C's em colunas diferentes:
- Escolha da coluna dos A's: 3
- Escolha das posi��es dos A's na coluna: 3
 
- Escolhas das posi��es dos B's e dos C's sem restri��o: C(7,2)*C(5,2) = 21 * 10 = 210
 
B's numa mesma coluna e C's em colunas diferentes:
- Escolha da coluna dos B's: 2
- Escolha das posi��es dos B's na coluna: 3
- No. de posi��es com os C's em colunas distintas: 7
Total: 2 * 3 * 7 = 42
 
Analogamente:
C's numa mesma coluna e B's em colunas diferentes - Total = 42
 
B's e C's numa mesma coluna: 2 * 3 * 1 * 3 = 18
 
- No. de configura��es com pelo menos um dentre B e C numa mesma coluna: 42 + 42 + 18 = 102
 
Portanto:
- No. de configura��es com os B's e os C's em colunas distintas, uma vez colocados os A's: 210 - 102 = 108
 
TOTAL: 3 * 3 * 108 = 972
 
4.1. De forma an�loga, o no. de configura��es com apenas os B's ou apenas os C's numa mesma coluna tamb�m � igual a 972.
Assim:
NO. DE CONFIGURA��ES COM APENAS UMA DAS LETRAS NUMA MESMA COLUNA = 3 * 972 = 2916
 
 
TOTAL GERAL = 7560 - 162 - 1134 - 2916 = 3348.