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Caros Rafael e Profs. Thyago e
Morgado:
Realmente, sou forçado a concordar com vocês que a
resposta certa é 3348. Na minha solução eu cometi um erro ao calcular o número
de configurações com apenas um par de letras iguais na mesma
coluna.
Segue a solução correta (que, pelo menos, é
diferente daquela apresentada pelo Thyago).
Um abraço,
Claudio.
******************
De quantos modos se pode colocar na tabela
abaixo duas letras A, duas
letras B e duas letras C,
uma em cada casa, de modo que não haja duas
letras
iguais na mesma coluna?
_ _
_
|_|_|_|
|_|_|_|
|_|_|_|
1. No. de maneiras de colocar as 6 letras sem
restrição:
- Escolha das posições para os A's dentre as 9
possíveis: C(9,2) = 36
- Escolha das posições para os B's dentre as 7
restantes: C(7,2) = 21
- Escolha das posições para os C's dentre as 5
restantes: C(5,2) = 10
TOTAL = 36 * 21 * 10 = 7560
Agora, a idéia é subtrair as configurações
com duas letras iguais na mesma coluna.
2. No. de configurações com A's, B's e C's numa
mesma coluna:
- Escolha da coluna dos A's: 3
- Escolha das posições dos A's na coluna:
3
- Escolha da coluna dos B's: 2
- Escolha das posições dos B's na coluna:
3
- Escolha da coluna dos C's: 1
- Escolha das posições dos C's na coluna:
3
TOTAL = 3 * 3 * 2 * 3 * 1 * 3 = 162
3. No. de configurações com A's e B's numa mesma
coluna mas com os C's em colunas distintas:
- Escolha da coluna dos A's: 3
- Escolha das posições dos A's na coluna:
3
- Escolha da coluna dos B's: 2
- Escolha das posições dos B's na coluna:
3
- Escolhas das posições dos C's sem restrição, dentre as 5 restantes:
C(5,2) = 10
- Número de posições com os dois C's na mesma coluna: 3
==> No. de posições com os C's em colunas distintas = 10 - 3 = 7
TOTAL: 3 * 3 * 2 * 3 * 7 = 378
3.1. De forma análoga, o no. de configurações com apenas A's e C's numa
mesma coluna e com apenas B's e C's numa mesma coluna também é igual a
378.
Assim:
NO. DE CONFIGURAÇÕES COM APENAS DUAS LETRAS NUMA MESMA COLUNA = 3 * 378 =
1134
4. No. de configurações com os dois A's numa mesma coluna mas com os B's
e os C's em colunas diferentes:
- Escolha da coluna dos A's: 3
- Escolha das posições dos A's na coluna:
3
- Escolhas das posições dos B's e dos C's sem restrição: C(7,2)*C(5,2) =
21 * 10 = 210
B's numa mesma coluna e C's em colunas diferentes:
- Escolha da coluna dos B's: 2
- Escolha das posições dos B's na coluna: 3
- No. de posições com os C's em colunas distintas: 7
Total: 2 * 3 * 7 = 42
Analogamente:
C's numa mesma coluna e B's em colunas diferentes - Total = 42
B's e C's numa mesma coluna: 2 * 3 * 1 * 3 = 18
- No. de configurações com pelo menos um dentre B e C numa mesma coluna:
42 + 42 + 18 = 102
Portanto:
- No. de configurações com os B's e os C's em colunas distintas, uma vez
colocados os A's: 210 - 102 = 108
TOTAL: 3 * 3 * 108 = 972
4.1. De forma análoga, o no. de configurações com apenas os B's ou
apenas os C's numa mesma coluna também é igual a 972.
Assim:
NO. DE CONFIGURAÇÕES COM APENAS UMA DAS LETRAS NUMA MESMA COLUNA = 3
* 972 = 2916
TOTAL GERAL = 7560 - 162 - 1134 - 2916 = 3348.
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