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Caros Rafael e Profs. Thyago e
Morgado:
Realmente, sou for�ado a concordar com voc�s que a
resposta certa � 3348. Na minha solu��o eu cometi um erro ao calcular o n�mero
de configura��es com apenas um par de letras iguais na mesma
coluna.
Segue a solu��o correta (que, pelo menos, �
diferente daquela apresentada pelo Thyago).
Um abra�o,
Claudio.
******************
De quantos modos se pode colocar na tabela
abaixo duas letras A, duas
letras B e duas letras C,
uma em cada casa, de modo que n�o haja duas
letras
iguais na mesma coluna?
_ _
_
|_|_|_|
|_|_|_|
|_|_|_|
1. No. de maneiras de colocar as 6 letras sem
restri��o:
- Escolha das posi��es para os A's dentre as 9
poss�veis: C(9,2) = 36
- Escolha das posi��es para os B's dentre as 7
restantes: C(7,2) = 21
- Escolha das posi��es para os C's dentre as 5
restantes: C(5,2) = 10
TOTAL = 36 * 21 * 10 = 7560
Agora, a id�ia � subtrair as configura��es
com duas letras iguais na mesma coluna.
2. No. de configura��es com A's, B's e C's numa
mesma coluna:
- Escolha da coluna dos A's: 3
- Escolha das posi��es dos A's na coluna:
3
- Escolha da coluna dos B's: 2
- Escolha das posi��es dos B's na coluna:
3
- Escolha da coluna dos C's: 1
- Escolha das posi��es dos C's na coluna:
3
TOTAL = 3 * 3 * 2 * 3 * 1 * 3 = 162
3. No. de configura��es com A's e B's numa mesma
coluna mas com os C's em colunas distintas:
- Escolha da coluna dos A's: 3
- Escolha das posi��es dos A's na coluna:
3
- Escolha da coluna dos B's: 2
- Escolha das posi��es dos B's na coluna:
3
- Escolhas das posi��es dos C's sem restri��o, dentre as 5 restantes:
C(5,2) = 10
- N�mero de posi��es com os dois C's na mesma coluna: 3
==> No. de posi��es com os C's em colunas distintas = 10 - 3 = 7
TOTAL: 3 * 3 * 2 * 3 * 7 = 378
3.1. De forma an�loga, o no. de configura��es com apenas A's e C's numa
mesma coluna e com apenas B's e C's numa mesma coluna tamb�m � igual a
378.
Assim:
NO. DE CONFIGURA��ES COM APENAS DUAS LETRAS NUMA MESMA COLUNA = 3 * 378 =
1134
4. No. de configura��es com os dois A's numa mesma coluna mas com os B's
e os C's em colunas diferentes:
- Escolha da coluna dos A's: 3
- Escolha das posi��es dos A's na coluna:
3
- Escolhas das posi��es dos B's e dos C's sem restri��o: C(7,2)*C(5,2) =
21 * 10 = 210
B's numa mesma coluna e C's em colunas diferentes:
- Escolha da coluna dos B's: 2
- Escolha das posi��es dos B's na coluna: 3
- No. de posi��es com os C's em colunas distintas: 7
Total: 2 * 3 * 7 = 42
Analogamente:
C's numa mesma coluna e B's em colunas diferentes - Total = 42
B's e C's numa mesma coluna: 2 * 3 * 1 * 3 = 18
- No. de configura��es com pelo menos um dentre B e C numa mesma coluna:
42 + 42 + 18 = 102
Portanto:
- No. de configura��es com os B's e os C's em colunas distintas, uma vez
colocados os A's: 210 - 102 = 108
TOTAL: 3 * 3 * 108 = 972
4.1. De forma an�loga, o no. de configura��es com apenas os B's ou
apenas os C's numa mesma coluna tamb�m � igual a 972.
Assim:
NO. DE CONFIGURA��ES COM APENAS UMA DAS LETRAS NUMA MESMA COLUNA = 3
* 972 = 2916
TOTAL GERAL = 7560 - 162 - 1134 - 2916 = 3348.
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