[obm-l] Re : [obm-l] Dúvidas sobre duas questões de análise real!!!

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Robson e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

1) Caro Robson. Se voce nao sabe, logo  vai ficar sabendo ( quando comecar a 
estudar Analise ) que esta serie e um tipico representante do que se chama 
uma SERIE CONDICIONALMENTE CONVERGENTE.

Existe um Teorema ( de Riemann ) de Analise  que afirma que um reordenamente 
dos termos destas series pode faze-la divergir OU convergir ( convergir para 
UM NUMERO REAL QUALQUER, dado ). Claramente que este Teorema fala pouco ...

Seja A1, A2, ..., A3 um PA, isto e, Ai - Ai-1 = K, K # 0. Entao, pelo 
Teorema de Leibniz ( da Analise ), (1/A1) - (1/A2) + (1/A3) - ... converge. 
Converge pra onde ?  Isso vai depender da PA.  No seu caso :

1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + (1/5) - ... = Ln(2)

Outro caso bem conhecido e :

S = 1 - (1/3) + (1/5) - (1/7) + (1/9) - ... = pi/4

E uma relacao bem conhecida e que :

1 + (1/2^2) + (1/3^2) + (1/4^2) + ... = (1/3!)*((4S)^2).
A serie acima e o valor da funcao zeta em 2.

Note que  a sequencia 1, 1/(2^2),1/(3^2),1/(4^2), ... e tal que
1/Ai  -  2/Ai+1  +  1/Ai+2 = K, K constante e diferente de zero, para 
qualquer i. Toda serie que satisfaz a relacao acima e tal que :

A1 - 2*A2 + 3*A3 - 4*A4 + 5*A5 - ...

Converge condicionalmente, conforme voce pode mostrar facilmente usando o 
Teorema de Leibniz a que me referi acima.

Se admitirmos que as series alternadas cujos modulos dos inversos dos seus 
termos sao uma PA constituem um dado, entao o problema dos inversos das PA2 
fica bem posto. Mais claramente, seja A1, A2, ..., An uma sequencia tal que 
( K e S dados ) :

1) 1/Ai - 2/Ai+1 + 1/Ai+2 = K = constante nao nula, independente de i
2) A1 - 2*A2 + 3*A3 - 4*A4 + 5*A5 - 6*A6 + ... converge para S.

A serie abaixo converge para que numero real ? :

A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + ...

Essa questao nao e simples. E uma forma diferente de abordar um problema 
resolvido apenas parcialmente pelo Euler.




2) Problema tipico de Introducao a Analise, que esta em todo livro desta 
categoria. Todo mundo mundo que estudou Analise fez este ou outro muito 
parecido. O enunciado esta um pouco confuso, mas sai assim : Suponha inf B < 
sup A. Moste que isto conduz a um absurdo.
Logo sup A =< inf B

Voce aqui estara usando o AXIOMA DO SUPREMO, tambem conhecido como AXIOMA DO 
COMPLETAMENTO : Todo conjunto de numeros reais limitado superiormente admite 
um supremo.

Deste axioma voce DEDUZ a existencia do infimo, vale dizer, postular o 
axioma do supremo implica no "TEOREMA DO INFIMO". Mas nao existe nenhum 
razao forte para esta preferencia ...

Voce pode postular um AXIOMA DO INFIMO e deduzir o "TEOREMA DO SUPREMO" ( 
basta multiplicar por -1 e fazer um raciocinio bobo cheio de implicacoes 
obvias ). Um corpo ordenado no qual vale este axioma e um CORPO ORDENADO 
COMPLETO. Os numeros reais.

Ha autores que POSTULAM a existencia de um corpo ordenado completo, tais 
como o Prof Elon Lima ( Curso de Analise, Vol. 1). Todavia, historicamente, 
foi a percepcao do AXIOMA DO SUPREMO pelo Dedekin que permitiu CONSTRUIR um 
tal corpo, que alias pode ser construido por diversos outros caminhos ...

O fato de existir diversas construcoes de tais corpos ( ordenados e 
completos ) nao complica ... Dois  de tais corpos sao necessariamente 
isomorfos, vale dizer, INDISTINGUIVEIS no que se refere aos axiomas que os 
definem.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
5,1750,230103


>   ----- Original Message -----
>   From: Robson Monteiro
>   To: obm-1@mat.puc-rio.br
>   Sent: Tuesday, January 14, 2003 5:23 PM
>   Subject: Dúvidas sobre duas questões de análise real!!!
>
>
>           Oi Pessoal estou com duas dúvidas(sobre quetões que >encontrei 
>no livro do Elon Lages-Análise Real) e gostaria de saber se >alguém pode me 
>ajudar:
>
>1º)  Efetue explicitamente uma reordenação dos termos da série 1 - (1/2) + 
>(1/3) - (1/4) + (1/5) - ...
>
>2º)  Sejam A,B conjuntos não vazios de números reais, tais que x >Pertence 
>a A e y pertence a B, com (x<=y). Prove que supA<=infB. Prove >que 
>supA=infB, se e somente se, para todo Epsilon>0 dado, podem-se >obter x 
>pertencente a A e y pertencente a B tais que: y- x=epsilon


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