[obm-l] Re: [obm-l] análise real.

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

From: <ghaeser@zipmail.com.br>
> seja f:IR->IR contínua e lim{f(x)/x,x->0}=L < oo.
>
> prove que f(0)=0
>
> Obrigado.
>
> "Mathematicus nascitur, non fit"
> Matemáticos não são feitos, eles nascem
> ---------------------------------------
> Gabriel Haeser

Não precisa da hipótese "contínua", só "contínua em x=0" basta. E precisa de
lim{ f(x)/x ; x->0 } = L < \infinito. Pela definição, dado um e > 0 existe
um d > 0 tal que |f(x)/x| < L + e sempre que |x| < d. Então se x < min{e,d}
vale |f(x)| < (L + e) |x| < Le + e^2, como o e foi escolhido arbitrariamente
podemos escolher para "n" natural um "e" suficientemente pequeno para o qual
|f(x_n)| < 1/n e |x_n| < e < 1/n. Portanto existe um sequência x_n -> 0 com
lim f(x_n) = 0. Como a f é contínua em x = 0, tem-se f(0) = 0.

Abraço do
Eduardo.
Porto Alegre, RS.

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