Re: Fw: [obm-l] Paradoxo da soma

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, Jan 12, 2003 at 11:56:12AM -0400, Jose Francisco Guimaraes Costa wrote:
> E o que vem a ser "somável no sentido de Cezaro"?
>
> > > Qual é a soma da série
> > > 1-1+1-1+1-1+1-1+...?
> > > Escrita na forma
> > > (1-1)+(1-1)+(1-1).........= 0
> > > por outro lado, escrita
> > > 1-(1-1)-(1-1)-(1-1).....= 1
> > mais frágeis se tornam as propriedades. A título de curiosidade, a série
> > acima  é somável no sentido de Cezaro e seu valor é 1/2.

Seja a_0, a_1, a_2, ... uma seqüência. Defina
b_0 = 0, b_n = (a_0 + a_1 + ... + a_(n-1))/n.
c_0 = 0, c_n = (b_0 + b_1 + ... + b_(n-1))/n.
d_0 = 0, d_n = (c_0 + c_1 + ... + c_(n-1))/n.
...

É fácil demonstrar que
se lim a_n = L então lim b_n = L,
se lim b_n = L então lim c_n = L,
se lim c_n = L então lim d_n = L,
...

Mas pode acontecer que os primeiros limites não existam
mas a partir de certo ponto passem a existir. Neste caso
este limite é chamado o limite da seqüência original (a_n)
no sentido de Cezaro.

A série acima serve como exemplo:

a_0 = 0
a_1 = 1
a_2 = 1-1 = 0
a_3 = 1-1+1 = 1
a_4 = 1-1+1-1 = 0
...

b_0 = 0
b_1 = 0
b_2 = (0+1)/2 = 1/2
b_3 = (0+1+0)/3 = 1/3
b_4 = (0+1+0+1)/4 = 1/2
...

Não é difícil verificar que lim b_n = 1/2.

Outro exemplo: quanto vale -1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-... ?
(No sentido de Cezaro, claro.)

a_0 = 0
a_1 = -1
a_2 = 1
a_3 = -2
a_4 = 2
a_5 = -3
a_6 = 3
a_7 = -4
a_8 = 4
...

b_0 = 0
b_1 = 0
b_2 = (0-1)/2 = -1/2
b_3 = (0-1+1)/3 = 0
b_4 = (0-1+1-2)/4 = -1/2
b_5 = (0-1+1-2+2)/5 = 0
b_6 = (0-1+1-2+2-3)/6 = -1/2
...

c_0 = 0
c_1 = 0
c_2 = 0
c_3 = (0+0-1/2)/3 = -1/6
c_4 = (0+0-1/2+0)/4 = -1/8
c_5 = (0+0-1/2+0-1/2)/5 = -1/5
c_6 = (0+0-1/2+0-1/2+0)/6 = -1/6
...

e não é difícil ver que lim c_n = -1/4.

[]s, N.
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