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From: "Cláudio \(Prática\)" <claudio@praticacorretora.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes
Date: Thu, Jan 9, 2003, 11:42 AM
Caro Eduardo:
Obviamente, esta é a solução que vai para o "LIVRO".
No entanto, pelo menos para mim, a maior dificuldade que existe em problemas de geometria é determinar a construção auxiliar (no caso, o segmento EF e, por conseguinte, paralelogramo BDFE) que "mata" o problema.
Existe alguma maneira sistemática de se buscar estas construções auxiliares ou infelizmente, só podemos contar com a experiência e a esperança de algum "insight" genial? E se, por acaso, existir tal maneira, você recomenda alguma bibliografia em particular?
A resposta eh nao. Se existisse, a atividade de resolver problemas nao teria
a menor graca. Mas as tentativas em obter construcoes auxiliares nao ocorrem inteiramente ao acaso. Tracar uma paralela, uma perpendicular, fazer uma rotacao,
uma simetria (entre outras coisas), frequentemente permitem reunir os dados
do problema em outra posicao, permitindo encontrar uma relacao entre eles.
Observe na resolucao deste problema, qual foi a ideia da criacao do paralelogramo:
conectar as bissetrizes iguais formando um triangulo isosceles! Isto eh algum
metodo. Se em algum problema ha dois segmentos iguais, devemos imaginar
uma maneira de conecta-los.
A melhor fonte para conseguir construcoes auxiliares eh certamente a experiencia.
Conhecer muitos problemas e observar cuidadosamente o porque da construcao.
Eu pergunto isso porque tenho observado que muitos problemas (possivelmente todos) que são resolvidos via estas construções auxiliares podem também ser resolvidos via trigonometria, apesar destas soluções serem muito mais longas e deselegantes, envolvendo uma quantidade razoável de álgebra. Minha suspeita é que talvez haja alguma relação profunda e geral entre soluções via construção auxiliar e soluções trigonométricas.
Sua suspeita nao eh so sua. Muitas vezes se consegue obter a solucao via
construcoes auxiliares depois da solucao trigonometrica. Mas, nem sempre.
Um abraço,
Claudio Buffara.
----- Original Message -----
From: Eduardo Wagner <mailto:wagner@impa.br>
To: obm-l@mat.puc-rio.br <mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, January 11, 2003 12:27 AM
Subject: Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes
O problema é: Prove que se um triângulo tem duas bissetrizes internas iguais, então ele é isósceles.
Solucao:
Desenhe o triangulo ABC e as bissetrizes BD e CE.
Construa o paralelogramo BDFE e trace CF.
Assinale os angulos:
ABC = 2b, ACB = 2c, EFD = b, DFC = x, DCF = y.
EF = BD = EC. Logo, b + x = c + y.
Suponha que os angulos B e C sejam desiguais,
B > C, por exemplo, e observe as implicacoes:
B > C
b > c
x < y
DC < DF
DC < BE
DBC = b < c = EBC (contradicao).
Logo, os angulos B e C sao iguais.
Abracos,
E. Wagner.
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