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From: "Cl�udio \(Pr�tica\)" <claudio@praticacorretora.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Tri�ngulos Is�sceles e Bissetrizes
Date: Thu, Jan 9, 2003, 11:42 AM
Caro Eduardo:
Obviamente, esta � a solu��o que vai para o "LIVRO".
No entanto, pelo menos para mim, a maior dificuldade que existe em problemas de geometria � determinar a constru��o auxiliar (no caso, o segmento EF e, por conseguinte, paralelogramo BDFE) que "mata" o problema.
Existe alguma maneira sistem�tica de se buscar estas constru��es auxiliares ou infelizmente, s� podemos contar com a experi�ncia e a esperan�a de algum "insight" genial? E se, por acaso, existir tal maneira, voc� recomenda alguma bibliografia em particular?
A resposta eh nao. Se existisse, a atividade de resolver problemas nao teria
a menor graca. Mas as tentativas em obter construcoes auxiliares nao ocorrem inteiramente ao acaso. Tracar uma paralela, uma perpendicular, fazer uma rotacao,
uma simetria (entre outras coisas), frequentemente permitem reunir os dados
do problema em outra posicao, permitindo encontrar uma relacao entre eles.
Observe na resolucao deste problema, qual foi a ideia da criacao do paralelogramo:
conectar as bissetrizes iguais formando um triangulo isosceles! Isto eh algum
metodo. Se em algum problema ha dois segmentos iguais, devemos imaginar
uma maneira de conecta-los.
A melhor fonte para conseguir construcoes auxiliares eh certamente a experiencia.
Conhecer muitos problemas e observar cuidadosamente o porque da construcao.
Eu pergunto isso porque tenho observado que muitos problemas (possivelmente todos) que s�o resolvidos via estas constru��es auxiliares podem tamb�m ser resolvidos via trigonometria, apesar destas solu��es serem muito mais longas e deselegantes, envolvendo uma quantidade razo�vel de �lgebra. Minha suspeita � que talvez haja alguma rela��o profunda e geral entre solu��es via constru��o auxiliar e solu��es trigonom�tricas.
Sua suspeita nao eh so sua. Muitas vezes se consegue obter a solucao via
construcoes auxiliares depois da solucao trigonometrica. Mas, nem sempre.
Um abra�o,
Claudio Buffara.
----- Original Message -----
From: Eduardo Wagner <mailto:wagner@impa.br>
To: obm-l@mat.puc-rio.br <mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, January 11, 2003 12:27 AM
Subject: Re: [obm-l] Tri�ngulos Is�sceles e Bissetrizes
O problema �: Prove que se um tri�ngulo tem duas bissetrizes internas iguais, ent�o ele � is�sceles.
Solucao:
Desenhe o triangulo ABC e as bissetrizes BD e CE.
Construa o paralelogramo BDFE e trace CF.
Assinale os angulos:
ABC = 2b, ACB = 2c, EFD = b, DFC = x, DCF = y.
EF = BD = EC. Logo, b + x = c + y.
Suponha que os angulos B e C sejam desiguais,
B > C, por exemplo, e observe as implicacoes:
B > C
b > c
x < y
DC < DF
DC < BE
DBC = b < c = EBC (contradicao).
Logo, os angulos B e C sao iguais.
Abracos,
E. Wagner.
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