Re: [obm-l] Re: [obm-l]_Somatório_de_Fibonacci_com_binomio_de_Newton

[Carlos Maçaranduba <soh_lamento@xxxxxxxxxxxx>]

Eu sei que isso ja prova mas não tem como provar para
aquele caso particular não??
 

--- "Nicolau C. Saldanha"
<nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br> escreveu: > On Fri,
Jan 10, 2003 at 03:14:00PM -0300, Carlos
> Maçaranduba wrote:
> > Alguem poderia fazer a questão abaixo?????
> > 
> >  Seja F_n o enésimo número de fibonacci.Seja C_x,y
> a
> > combinação de x elementos tomados y a y(x maior ou
> > igual a y).Prove o somatório abaixo:
> > 
> > C_n,0*(F_1) + C_n,1*(F_2) +....C_n,n*(F_n+1) =
> F_2n+1.
> 
> O bom é provar uma identidade bem mais geral:
> 
> C_n,0 * F_m + C_n,1 * F_m+1 + ... + C_n,n * F_m+n =
> F_2n+m
> 
> que pode ser provada por indução em n. O caso n = 0
> é trivial:
> 
> C_0,0 * F_m = F_0+m
> 
> e o caso n = 1 é fácil:
> 
> C_1,0 * F_m + C_1,1 * F_m+1 = F_m+2
> 
> Supondo o caso n temos
> 
> C_n,0 * F_m   + C_n,1 * F_m+1 + C_n,2 * F_m+2 + ...
> + C_n,n * F_m+n                     = F_2n+m
>                 C_n,0 * F_m+1 + C_n,1 * F_m+2 + ...
> + C_n,n-1 * F_m+n + C_n,n * F_m+n+1 = F_2n+m+1
> 
> e somando as duas equações casando do lado esquerdo
> termos
> onde o F_* tem o mesmo índice
> (na vertical para quem a minha diagramação
> funcionar)
> temos
> 
> C_n+1,0 * F_m + C_n+1,1 * F_m+1 + C_n+1,2 * F_m+2 +
> ... + C_n+1,n * F_m+n + C_n+1,n+1 * F_m+n+1 =
> F_2n+m+2
> 
> que é o caso n+1.
> 
> []s, N.
>
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> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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