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Acho que a melhor maneira de responder a esta pergunta é
através de um exemplo:
Considere o seguinte problema:
Prove que se um triângulo tem duas bissetrizes
internas iguais, então ele é isósceles.
Solução (fornecida pelo Prof. Eduardo Wagner): Desenhe o triangulo ABC e as bissetrizes BD e CE. Construa o paralelogramo BDFE e trace CF. Assinale os angulos: ABC = 2b, ACB = 2c, EFD = b, DFC = x, DCF = y. EF = BD = EC. Logo, b + x = c + y. Suponha que os angulos B e C sejam desiguais. SEM PERDA DE GENERALIDADE, suponha que
B > C, por exemplo, e observe as implicacoes: B > C b > c x < y DC < DF DC < BE DBC = b < c = EBC (contradicao). Logo, os angulos B e C sao iguais. ***********
PERGUNTA: Você acha que a solução acima está completa, ou
será que ficou faltando tratar o caso B < C?
Se fôssemos aderir estritamente às leis
da lógica com 100% de rigor, deveríamos, de fato, tratar também o caso B
< C. Entretanto, o tratamento deste caso seria totalmente análogo ao do caso
B > C (bastando, de fato, inverter a direção das desigualdades). Assim, o
Prof. Eduardo considerou (com total razão) que o caso B > C era
suficientemente geral, ou seja, bastava tratar este caso a fim de estabelecer o
resultado desejado. Em outras palavras, a suposição de que B > C não reduziu
o grau de generalidade da demonstração (o que teria ocorrido, por exemplo, se
ele tivesse suposto que B = 2*C ou que C < B < C + 10 graus).
Espero ter sido claro.
Um abraço,
Claudio Buffara.
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