[obm-l] Re: [obm-l] Uma dúvida simples

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

From: Felipe Villela Dias
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>Pessoal, desculpem o meu nível de ignorância mas me surgiu uma dúvida:
todos os >números primos possuem raízes quadradas irracionais? Caso
positivo, existe alguma prova >simples para isso?

Vou anexar abaixo a mensagem do Rodrigo Villard Milet que responde a sua
pergunta em particular. Se uma raiz racional de um inteiro não é inteira,
então ela é irracional.

MENSAGEM

Na verdade isso é muito mais geral. Se raiz n-ésima de a^m (a natural) não é
inteiro, então deve ser irracional. É fácil provar isso, se vc sabe um
critério para achar raízes racionais de equações com coeficientes inteiros.
LEMA: Dada a equação A(n)x^n + A(n-1)x^(n-1) +... +A(1)x+A(0)=0 e p/q (na
forma irredutível) é raiz, então p divide A(0) e q divide A(n).
Prova: Substitua p/q na equação. Então A(n)p^n = -q*[A(n-1)p^(n-1)
+...+A(0)q^(n-1)] e como p e q não tem fatores em comum, segue que todos os
fatores de q se encontram em A(n), logo q | A(n). Analogamente p | A(0).

Então considere a equação x^n - a^m=0. Temos que  raiz n-ésima de a^m é
raiz. Então, pelo lema, se é racional (p/q), teríamos p | a^m e q | 1, logo
p/q é inteiro, o que é uma contradição, já que estamos supondo que não é
inteiro.
Logo raiz n-ésima de a^m (a natural ), se não é inteiro, é irracional.

Abraços,
 Villard



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