[obm-l] Re: [obm-l] identidades algébricas nos complexos

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Você pode tornar tudo isso mais preciso...
O teorema é " Se duas funções coincidem num conjunto que possui um ponto de
acumulação ( por exemplo, um intervalo, como vc disse ), então elas
coincidem ".
Basta mostrar que os zeros de funções holomorfas não identicamente nulas são
isolados.
Dada f holomorfa com zero em z0, é fácil ver que não podem se anular todas
as derivadas de f em z0, pois f seria nula. Então seja m a ordem da primeira
derivada não nula de f em z0. Segue que f(z) = (z-z0)^m * h(z), com h(z0)
não nulo. Agora é fácil, numa vizinhança de z0, (z-z0)^m é diferente de 0
para z0 diferente de 0. E além disso h(z) é diferente de zero, pois é
continua. Logo nessa vizinhança só há o zero z0.
Agora considere duas funções f e g que coincidem num conjunto com ponto de
acumulação "a".  Seja h=f-g. Temos que h é nula num conjunto com ponto de
acumulação, logo possui zero não isolado, uma contradição, logo h é
identicamente nula , donde f==g.

Qualquer coisa, pergunte de novo..
Abraços, Villard

-----Mensagem original-----
De: Domingos Jr. <dopikas@uol.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Segunda-feira, 16 de Dezembro de 2002 18:51
Assunto: [obm-l] identidades algébricas nos complexos


>Olá a todos!
>
>Existe um teorema que afirma que se uma função complexa definida num aberto
>que possui um intervalo da reta real e neste intervalo existe uma
identidade
>algébrica envolvendo essa função, então a identidade também é válida no
>domínio complexo.
>
>É um teorema muito útil para sabermos que identidades como sen²z + cos²z =
1
>valem pra z complexo.
>
>Alguém sabe como demonstrar esse teorema?
>
>[ ]'s
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
>=========================================================================
>

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