Re: [obm-l] a<b

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Nov 29, 2002 at 03:01:54PM -0200, basketboy_igor wrote:
> Poderia ajudar nessa questão:
> Sejam a, b e c pertencentes ao reais positivos tais que 
> a+b+c=1. Prove que a^2b + b^2c + c^2a < 4/27

Acho melhor formular assim.

Se a,b,c >= 0, a+b+c = 1 então

a^2 b + b^2 c + c^2 a <= 4/27.

Vou resolver usando cálculo, deve existir uma solução ainda mais
elementar usando só álgebra.

A nossa função é

F(a,b,c) = a^2 b + b^2 c + c^2 a.

e o domínio é o triângulo equilátero descrito no enunciado.

Nos vértices F(1,0,0) = F(0,1,0) = F(0,0,1) = 0.

Nos lados, digamos no lado c = 0 (os três são iguaizinhos) temos 
b = 1-a e

F(a,b,c) = a^2 (1-a), 0 <= a <= 1

que vale 0 nas pontas e tem um único ponto crítico em a = 2/3 onde

F(2/3,1/3,0) = 4/27.

Na face temos

grad F = (2ab+c^2, 2bc+a^2, 2ca+b^2)

e queremos procurar os pontos onde as três coordenadas são iguais
(de modo que o vetor gradiente fique perpendicular ao plano a+b+c=1).

Observando que

2ab+c^2 = a^2 + b^2 + c^2 - (a-b)^2

devemos ter

(a-b)^2 = (b-c)^2 = (c-a)^2

o que só ocorre se a=b=c=1/3 onde

F(1/3,1/3,1/3) = 1/9 < 4/27.

Aliás este ponto fixo central é o que se chama uma sela de macaco.

[]s, N.

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================