Re: [obm-l] LOGARITMO NATURAL DE -1

["Caio Augusto" <caio.lic@xxxxxxxxxx>]

Ol� de novo,

Mexer nos complexos � muito mais simples que nos reais pois os resultados
s�o mais interessantes, por�m deve-se tomar mais cuidado. Geralmente as
fun��es nos complexos s�o definidas de forma an�loga a dos reais. No caso da
exponencial temos o seguinte:

e^z  = 1 + z +z^2/2!+z^3/3!+....

Desta forma, pelo estudo de s�ries nos complexos vemos que o raio de
converg�ncia � infinito, ou seja, e^z � dada por esta defini��o para todo z
pertencente a |C. Definindo log(z) do modo como disse nos outros emails �
�bvio que e^log(z) = z. Quanto a quest�o da multival�ncia, � um pouco
complicado explicar por email, se algu�m puder me dar uma ajuda aqui seria
bom. A demonstra��o dada pelo Marcelo s� � v�lida num ramo em que Pi est� no
contradom�nio de Arg(z).

�ltima coisa que eu acho importante dos complexos: a fun��o dada por a^w,
onde w est� em |C � definida por a^w = e^(w*log(a)), e a� entra a quest�o de
qual log estamos usando, pois caso n�o se leve isso em considera��o
ter�amos: (a^z)^w=a^(z*w) o que facilmente pode-se ver n�o � bem verdade
pois se fosse: 1 = e^(i*Pi/2) elevando ao quadrado ambos lados: 1 = e^(i*Pi)
= -1, absurdo! ent�o � delicado trabalhar com fun��o em |C mas � mais f�cil
devido as f�rmulas e equa��es de Cauchy.

Atenciosamente,
Caio Augusto

----- Original Message -----
From: "Marcelo Leitner" <mrl@netbank.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, November 26, 2002 3:27 PM
Subject: Re: [obm-l] LOGARITMO NATURAL DE -1


> Venha para a VilaBOL!
> O melhor lugar para voc� construir seu site. F�cil e gr�tis!
> http://vila.bol.com.br
> On Tue, Nov 26, 2002 at 04:50:35PM -0300, JO�O CARLOS PAREDE wrote:
> >
> > Folheando despreocupadamente a Enciclop�dia Delta Larrouse, no voc�bulo
ci�ncia, vejo um quadro com a hist�ria da evolu��o das ci�ncias; entre elas
Matem�tica.
> >
> > Numa passagem leio que
> >
> > ln (-1) = (Pi)*(unidade imagin�ria)
> >
> > Vasculhando pela internet vi outros sites que tamb�m s� enunciam isto.
> >
> > Certa vez li que os logaritmos de n�meros negativos existem no conjunto
dos Complexos.
> >
> > Tentei dar uma mexida no problema, rabiscando alguma coisa e fiquei com
as seguintes indaga��es, as quais compartilho com o grupo:
> >
> > 1) Como se prova que "ln (-1) = (Pi)*(unidade imagin�ria)"?
> >
> > 2) Com expoentes eu consigo me virar no Plano Argrand-Gauss, mas com
logaritmo eu n�o consegui evoluir muita coisa sozinho. Como se trabalha com
logaritmos e exponencias nos complexos?
> >
> > JO�O CARLOS PAREDE
>
> Ou utilizando um outro metodo, diferente do do Caio, podemos utilizar a
notacao de Euler p/ o numero complexo, e^(arg*i)
> entao temos ln -1 = x
> e^x = -1
> -1 = cis(pi), logo e^x = e^(pi*), e como as bases sao iguais, temos que x
= pi*i
> foi a unica coisa que vi, nao sei quanto a ter de fazer limitacoes no log
ou coisas do tipo.. alguem aih pode dar uma ajudinha??
>
> quanto a 2. questao eu nao posso ajudar..
>
> []'s
> --
> Marcelo R Leitner <mrl@netbank.com.br>
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> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista � <nicolau@mat.puc-rio.br>
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