Re: [obm-l] LOGARITMO NATURAL DE -1

["Caio Augusto" <caio.lic@xxxxxxxxxx>]

Olá de novo,

Mexer nos complexos é muito mais simples que nos reais pois os resultados
são mais interessantes, porém deve-se tomar mais cuidado. Geralmente as
funções nos complexos são definidas de forma análoga a dos reais. No caso da
exponencial temos o seguinte:

e^z  = 1 + z +z^2/2!+z^3/3!+....

Desta forma, pelo estudo de séries nos complexos vemos que o raio de
convergência é infinito, ou seja, e^z é dada por esta definição para todo z
pertencente a |C. Definindo log(z) do modo como disse nos outros emails é
óbvio que e^log(z) = z. Quanto a questão da multivalência, é um pouco
complicado explicar por email, se alguém puder me dar uma ajuda aqui seria
bom. A demonstração dada pelo Marcelo só é válida num ramo em que Pi está no
contradomínio de Arg(z).

Última coisa que eu acho importante dos complexos: a função dada por a^w,
onde w está em |C é definida por a^w = e^(w*log(a)), e aí entra a questão de
qual log estamos usando, pois caso não se leve isso em consideração
teríamos: (a^z)^w=a^(z*w) o que facilmente pode-se ver não é bem verdade
pois se fosse: 1 = e^(i*Pi/2) elevando ao quadrado ambos lados: 1 = e^(i*Pi)
= -1, absurdo! então é delicado trabalhar com função em |C mas é mais fácil
devido as fórmulas e equações de Cauchy.

Atenciosamente,
Caio Augusto

----- Original Message -----
From: "Marcelo Leitner" <mrl@netbank.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, November 26, 2002 3:27 PM
Subject: Re: [obm-l] LOGARITMO NATURAL DE -1


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> On Tue, Nov 26, 2002 at 04:50:35PM -0300, JOÃO CARLOS PAREDE wrote:
> >
> > Folheando despreocupadamente a Enciclopédia Delta Larrouse, no vocábulo
ciência, vejo um quadro com a história da evolução das ciências; entre elas
Matemática.
> >
> > Numa passagem leio que
> >
> > ln (-1) = (Pi)*(unidade imaginária)
> >
> > Vasculhando pela internet vi outros sites que também só enunciam isto.
> >
> > Certa vez li que os logaritmos de números negativos existem no conjunto
dos Complexos.
> >
> > Tentei dar uma mexida no problema, rabiscando alguma coisa e fiquei com
as seguintes indagações, as quais compartilho com o grupo:
> >
> > 1) Como se prova que "ln (-1) = (Pi)*(unidade imaginária)"?
> >
> > 2) Com expoentes eu consigo me virar no Plano Argrand-Gauss, mas com
logaritmo eu não consegui evoluir muita coisa sozinho. Como se trabalha com
logaritmos e exponencias nos complexos?
> >
> > JOÃO CARLOS PAREDE
>
> Ou utilizando um outro metodo, diferente do do Caio, podemos utilizar a
notacao de Euler p/ o numero complexo, e^(arg*i)
> entao temos ln -1 = x
> e^x = -1
> -1 = cis(pi), logo e^x = e^(pi*), e como as bases sao iguais, temos que x
= pi*i
> foi a unica coisa que vi, nao sei quanto a ter de fazer limitacoes no log
ou coisas do tipo.. alguem aih pode dar uma ajudinha??
>
> quanto a 2. questao eu nao posso ajudar..
>
> []'s
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> Marcelo R Leitner <mrl@netbank.com.br>
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