[obm-l]

["Eric Campos Bastos Guedes" <mathfire@xxxxxxxxx>]

Sabendo que para todo x pertencente aos reais tem-se P(x) = P(-x-1).
Determine
um polinômio f(x) tal que P(f(x)) = P(f(-x)).
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Como P(x) = P(-x-1) entao P(f(x)) = P(-f(x)-1)
donde uma solucao eh encontrada fazendo
f(x) = -f(x) - 1 e f(x) = -1/2 para todo x.

Por outro lado, como P(x) = P(-x-1) eh facil
ver que P(a) = P(b) sempre que a+b = -1.
Portanto, para que P(f(x)) = P(f(-x)) eh
suficiente que f(x) + f(-x) = -1 para todo x.
Os polinomios que satisfazem essa condicao
sao os que tem termo independente igual a
-1/2 e cujos coeficientes de x^(2n) sao todos nulos.
Um exemplo desse tipo de polinomio eh

f(x) = 2x^3 - 3x -1/2

Note que f(-x) = -2x^3 + 3x -1/2 e que

f(x) + f(-x) = -1

Eric.

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