[obm-l] Re: [obm-l] Equaçao "aberta"

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Felipe e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Ola Felipe ! Se voce acompanhou com atencao a solucao do Prof Morgado deve 
ter percebido que ela sugere um caminho de generalizacao ... De fato, em 
essencia, o que voce quer e somar um numero finito de termos de uma 
sequencia da forma :

(A1*B1, A2*B2, A3*B3, ... , An*Bn )

onde (A1, A2, ..., An) e uma Progressao Geometrica e (B1, B2, ...,Bn) e uma 
Progressao Aritmetica.

Os termos Ai*Bi com i > 1 podem ser expressos como funcao do primeiro termo 
e da posicao que ocupam, pois sabemos que :

An=A1+(N-1)*r  e  Bn=B1*[q^(N-1)]

Sendo assim, se :
S=A1*B1 + A2*B2 + ... + An*Bn
entao :
q*S=A1*B1*q + [A1+r]*B1*q^2 + ... + [A1+(N-1)*r]*B1*q^N
e, portanto :
S - q*S=r*B1*q + r*B1*q^2 +...+r*B1*q^(N-1)+{A1*B1 - (A1+(N-1)r)*B1*q^N}
(1-q)*S=r*B1[q+q^2+...+q^(N-1)] + {A1*B1 - (A1+(N-1)r)*B1*q^N}
(1-q)*S=r*B1*[(q^N -q)/(q-1)]+ {A1*B1 - (A1+(N-1)r)*B1*q^N}
S=r*B1*[(q-q^N)/(q-1)^2]+[1/(1-q)]*{A1*B1 - (A1+(N-1)r)*B1*q^N}

Que a "formula" para a soma de N termos. Observe que se modulo(q)<1
entao q^N -> 0 quando N ->+INFINITO. Portanto :

LIM S =(r*q*B1)/(1-q)^2 + A1*B1/(1-q)=[B1/(1-q)]*[A1 - r*q/(1-q)]

Um Abraco
Paulo Santa Rita
5,1956,141102

>From: Augusto César Morgado <morgado@centroin.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Equaçao "aberta"
>Date: Thu, 14 Nov 2002 18:22:27 -0200
>
>
>
>felipe mendona wrote:
>
>>    S =   (2^0).(n-1)+(2^1).(n-2)+.............+[2^(n-3)].2+[2^(n-2)].1
>>
>Vamos considerar a soma auxiliar T,
>
>>   T = S/[2^(n-2)] = (n-1)[0,5^(n-2)] + (n-2)[0,5^(n-3)] + ... + 2[0,5^1] 
>>+ 1
>>
>T = (n-1)[x^(n-2)] + (n-2)[x^(n-3)] + ... + 2[x^1] + 1 , para x=0,5.
>
>>T = derivada de   [x^(n-1)] + [x^(n-2)] + ... + [x^2] + x +1   = derivada 
>>de [(x^n - 1)/(x-1)] =[(x-1)n(x^(n-1))-  (x^n - 1)]   / (x-1)^2  para 
>>x=0,5.
>>
>T=[ - (n+1) (0,5)^n  + 1] / [0,5^2] = 4 - (n+1) [0,5^(n-2)]
>
>>S =   4* [2^(n-2)] - (n+1)
>>
>>  Pessoal,existe uma forma fechada da expressao aberta 
>>(2^0).(n-1)+(2^1).(n-2)+.............+[2^(n-3)].2+[2^(n-2)].1 
>>?????????????????
>>
>>
>>
>>                            Aguardo respostas
>>
>>                                                              Felipe 
>>Mendonça    Vitória-ES.
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