Re: [obm-l] Ajuda em Teorema do Numero primo e Teorema de Dirichlet

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Nov 06, 2002 at 12:53:19PM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
wrote:
> 
> Turma,andei fazendo uns passeios pela USP e pesquisando sobre o TNP.Acabei
> caindo no Teorema da PA de Dirichlet(se a razao de uma PA e prima com seu
> primeiro termo,entao a dita PA contera infinitos primos).Tudo saia dessa
> desigualdade aqui:
> 
> Sp<=x ((log p)/p)=log x+0(1),em que p significa "primo".
> 
> Alguem sabe como demonstrar?

Não entendi nada. O que é esse S?

Eu conheço uma demonstração do teorema de Dirichlet usando variável complexa
e funções tipo zeta, tem no livro do Borevich-Shafarevich. Conheço uma
demonstração elementar no caso em que o primeiro termo da PA é 1.

Teorema: Seja n um inteiro positivo dado;
existem infinitos primos da forma p = nk + 1.

Esboço de dem:

Seja P(x) o polinômio mônico cujas raízes são as raízes primitivas de ordem
n da unidade, i.e., P(x) = (x-z1)...(x-zm) onde z1, ..., zm são os números
complexos que satisfazem z^n = 1 e z^m = 1 -> n|m.
Não é difícil mostrar que este polinômio tem coeficientes inteiros.

Sejam p1, p2, ..., pm primos da forma nk+1.
Considere N = P(n! * p1 * ... * pm).
Claramente p1, ..., pm, assim como primos divisores de n
não podem ser divisores de N. Por outro lado não é difícil provar
que se q é um fator primo de N então q é da forma nk+1.
Assim um fator primo de N é um novo primo da forma nk+1.
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