[obm-l] Re: [obm-l] binômio de newton

["Wagner" <timpa@xxxxxxxxxx>]

Oi pessoal!

-notação: C(a,b) = combinações de a tomados b a b.

Seja (a + x)^n. Em que x é muito pequeno. Para n=2 temos a^2 + 2ax + x^2. Se
(a + x)^n é aproximadamente a + nx, Então:
a^2 + 2ax + x^2 = a + 2x .  x^2 é irrelevante para uma aproximação, logo:
a(a + 2x) = a + 2x, logo se n=2, (a + x)^n = a + nx, somente se a=1.
Agora vamos provar pelo binômio de Newton. Considerando a=1, x como pequeno
mas relevante e x^y irrelevante para y>=2. Temos para n natural
(1 + x)^n = C(n,0) + C(n,1)x + C(n,2)x^2 + C(n,3)x^3 + ... . Mas C(n,2)x^2 +
C(n,3)x^3 + ... é irrelevante, logo pela aproximação:
(1 + x)^n = 1 + nx .Agora tomemos (1 + x)^(1/n) com n natural, aplicando o
processo inverso temos (1 + x)^(1/n) = 1 + x/n, pois se x é muito pequeno,
x/n também é muito pequeno, logo (1 + x/n)^n = 1 + x, então o processovale
para todo número real positivo (como se trata de uma aproximação também vale
para os irracionais). Logo se (a + x)^n = a + xn  para n = -1, vale para
todo n<0 e logo para todo n real. (a + x)^(-1) = a - x => (a + x).(a - x) =
1 => a^2 - x^2 = 1 . Como x^2 é desprezível, a^2 = 1 => a = 1  CQD.
Para a diferente de 1, (a + x)^n = (a^n).(1 + x/a)^n = (a^n).(1 + nx/a) =>
( a + x )^n = a^n + n.x.(a^(n-1))
A aproximação vale sempre que (a^(n-2))(x^2) for considerado desprezível (
para |a| > 1)

André T.


----- Original Message -----
From: "pichurin" <pichurinbr@yahoo.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, November 03, 2002 12:13 PM
Subject: Re: [obm-l] binômio de newton


> Ok, mas se a=1, as " regras" são válidas?
> Por quê?
>
>
>
>
>  --- Augusto César Morgado <morgado@centroin.com.br>
> escreveu: > Não, só se a=1.
> >
> > pichurin wrote:
> >
> > >(a + x)^n
> > >x é um número bem pequen0(entre zero e um)
> > >Ex: (1 + 0,05)^32
> > >
> > >Como calcular isso pelo Binômio de Newton(calcular
> > o
> > >valor aproximado)
> > >
> > >essa aproximação pode ser dada por a + nx?
> > >
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