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Algém
poderia me dizer qual é a definição de número da cobertura de Lesbegue (ou,
simplesmente, número de Lesbegue)? Eu já vi 3 definuições correlatas, embora não
exatamente iguais, todas referentes a espaços métricos compactos e coberturas
abertas dos mesmos. Sendo então S um espaço métrico compacto e G uma cobertura
aberta do mesmo, dizemos, de acordo com cada uma das 3 definicões a seguir, que
L>0 é um número de Lesbegue, se: 1)
Para qualquer x em S, a bola aberta de
centro em x e raio L está contida em algum dos membros de G (parece ser a
definição mais usual) 2)
Todo subconjunto de S com diâmetro menor do
que L está contido em algum dos membros de G (consta no livro de Munkres, Topology). 3)
Dados quaisquer x e y em S tais que d(x,y)<L
, existe então um mesmo conjunto em G que contém simultaneamente x e y. (Esta
definição consta no livro Elements of Real Analysis, de Robert Bartle) Acho
que (1) e (2) são equivalentes (embora 2 estabeleça diâmetro estritamente menor
do que L) e, é claro, (2) => (3). Mas
não me parece que (3) =>(2). Obrigado Artur |