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>neste endereço (pag. 12)
vc encontra uma prova por indução reversa da >desigualdade >das médias .. além de muitas outras provas interessantes por indução !! Para a desigualdade das médias
artmética e geométrica, há também uma prova interessante baseada nas
propriedades da função exponencial: Desigualdade
das Médias Aritmética e Geométrica: A média
aritmética de n números positivos é maior ou igual do que a média geométrica
deste mesmos números, ocorrendo igualdade se, e somente se, os números forem
todos iguais. Convenções sse = se, e somente se, x_n = x índice n S(i=1 n) x_i = somatório
de i=1 até n dos x_i P (i=1 n) x_i =produto
de i=1 até n dos x_i Basearemos a
demonstração na propriedade da função exponencial segundo a qual e^x >= 1+x para
qualquer real x, ocorrendo igualdade sse x=0. Sejam x_1,....x_n
números positivos e sejam A e G as respectivas Médias aritmética e geométrica. Para cada i =1,...n,
definamos r_i como o desvio relativo de x_i com relação a A, ou seja r_i
= (x_i - A)/A = x_i/A - 1 (1).
Verificamos facilmente que S(i=1 n) r_i
= 0 (2). Pela citada propriedade da função exponencial, temos,
para cada i=1,...n, que e^r_i >= 1+ r_i, ocorrendo igualdade sse
r_i=0. Em virtude de (1), segue-se que
e^r_i >= x_i/A (3), ocorrendo igualdade sse x_i=A. Como ambos os membros das n
desigualdades englobadas em (3) são positivos, temos que P (i=1 n) e^r_i >= P (i=1 n) x_i/A
(4), ocorrendo igualdade sse x_i=A para
cada i=1,....n . Pelas propriedades da função exponencial, temos que P (i=1 n) e^r_i = e^[S(i=1 n) r_i], o que, em
virtude de (2), leva a que P(i=1 n) e^r_i = e^0 =1. Por outro lado, P (i=1
n) x_i/A =[P (i=1 n) x_i]/(A^n) = (G/A)^n. Considerando-se (4), concluímos que 1
>= (G/A)^n e que, consequentemente, A>=G. Conforme visto,
ocorre igualdade sse x_1, ..x_n. Isto
demonstra a desigualdade Artur |