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[obm-l] Fwd: [teoremalista] Ibero 88/B3 Solution(By Anderson Torres,Sao Paulo,Brazil)

 

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Hello Mr.Scholes!!!!I am Anderson Torres,a Brazilian student.
Because I'm Brazilian,my English isn't very good.Hence My solution from
the problems of Iberoamerican is in Portuguese(I am sorry!!!).

IBERO 88/B3

Considere os conjuntos de K numeros naturais nao-nulos nos quais nao ha
tres elementos em progressao aritmetica.Demonstre que em um desses conjuntos
a soma dos inversos dos elementos e maxima.

Soluçao:

Chamaremos um conjunto ou sucessao desse tipo de sucessao sem promedios.A
ideia sera construir este conjunto indutivamente.
Usaremos induçao em K.

*Se K=1,o conjunto {1} resolve o problema.
*Suponha que a sequencia crescente a(1)<a(2)<...<a(n) resolva o problema
para K=n.
Escolha a(n+1) como o menor natural tal que a(1)<a(2)<...<a(n)<  a(n+1)
seja livre de promedios.Vamos melhorar esta sequencia,comparando-a a outras.
Considere,entao a sequencia livre de promedios b(1)<b(2)<...<b(n)<b(n+1).Pode
ser b(n+1)<=a(n+1) ou b(n+1)>a(n+1).
O numero de sucessoes livres de promedios tais que b(n+1)<=a(n+1)e finito(e
nao e vazio por hipotese de induçao),logo uma das sucessoes deve ter soma
maxima.Seja x(1),x(2),...,x(n),x(n+1) a tal sequencia.
Entre as sequencias x(1),...,x(n+1)e a(1),...,a(n+1) escolha a que tiver
a maior soma dos inversos dos termos.
A sequencia assim definida e a procurada.De fato:
*se b(n+1)>a(n+1),por hipotese de induçao,
(1/b(1)+...+1/b(n))+1/b(n+1)<=(1/a(1)+...+1/a(n+1))

*se b(n+1)<=a(n+1),entao 1/b(1)+...+1/b(n)+1/b(n+1)<=1/x(1)+...+1/x(n+1).E
fim!!!

IBERO 89/A2

Se x,y,z sao tres reais tais que 0<x<y<z<(pi/2).Demonstre que
(pi/2)+2*senx*cosy+2*seny*cosz>sen2x+sen2y+sen2z

Soluçao:

A desigualdade equivale a esta:
senx*(cosx-cosy)+seny*(cosy-cosz)+senz*cosz<(pi/4).
Interprete tudo isto como a area de tres retangulos contidos no primeiro
quadrante do ciclo trigonometrico.Dai a desigualdade e obvia.E fim!!!

IBERO 93/B2

If P and Q are two points in the plane, let m(PQ) be the perpendicular bisector
of PQ. S is a finite set of n > 1 points such that: (1) if P and Q belong
to S, then some point of m(PQ) belongs to S, (2) if PQ, P'Q', P"Q" are three
distinct segments, whose endpoints are all in S, then if there is a point
in all of m(PQ), m(P'Q'), m(P"Q") it does not belong to S. What are the
possible values of n?

Soluçao

Resposta:n=3 ou n=5.
Usaremos contagem dupla.
Para n=3,S pode ser um triangulo regular;para n=5,S pode ser um pentagono
regular.
Para n=4,nao existe S.De fato,conectando todos os pares de pontos apareceriam
6 segmentos,e assim sendo,6 mediatrizes(six perpendicular bissectors).Logo
existiria um ponto P de S comum a duas mediatrizes de segmentos consecutivos,digamos
m(AB) e
m(BC).Mas com isso P estaria em m(AC).Contradiçao.
Para finalizar,demonstremos o seguinte
LEMA:nC2<=2*n(portanto n<=5),em que aCb=a!/(b!(a-b)!)
Prova:conectando os pares de pontos de S aparecem  nC2 segmentos.
A cada segmento associe um ponto de S que pertence a sua mediatriz.Assim
sendo cada ponto de S nao e associado mais que 2 vezes.Ou seja,nC2<=2*n,o
que acarreta n<=5.
E fim!

Thanks
          Johann(my nickname)


TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE
CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE


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