Re: [obm-l] ???

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, Sep 29, 2002 at 02:09:24PM -0300, Eder wrote:
> Olá,
> 
> 
> 
> Gostaria de ajuda na situação abaixo.
> 
> 
> Sendo a,b e c inteiros positivos,resolva: (1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)=2.
> 
> Eu estava tentando e não me pareceu haver solução...

Podemos supor 1 < a <= b <= c.
Devemos ter a <= 3 pois se a >= 4 temos b, c >= 4 e
(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c) <= (1+1/4)(1+1/4)(1+1/4) = 125/64 < 128/64 = 2.
Vamos estudar separadamente os casos a = 2 e a = 3.

Para a = 2 temos 2 <= b <= c e
(1+1/b)(1+1/c) = 4/3
donde devemos ter b <= 6 pois se b >= 7 temos c >= 7 e
(1+1/b)(1+1/c) <= (1+1/7)(1+1/7) = 64/49 < 64/48 = 4/3.
Assim basta testar b = 2, 3, 4, 5, 6 e ver para quais casos
temos c inteiro positivo. Os casos b=2 e b=3 falham mas os outros
nos dão as soluções:

2,4,15
2,5,9
2,6,7

Para a = 3 temos 3 <= b <= c e
(1+1/b)(1+1/c) = 3/2
donde devemos ter b <= 4 pois se b >= 5 temos c >= 5 e
(1 + 1/b)(1+1/c) <= (1+1/5)(1+1/5) = 36/25 < 36/24 = 3/2.
Novamente basta testar b = 3 e b = 4 para obter as soluções

3,3,8
3,4,5

e estas são (a menos de permutações) todas as soluções.

O problema fica mais interessante se permitirmos mais variáveis:

(1+1/x1)...(1+1/xn) = 2, 1 < x1 <= ... <= xn inteiros.
As soluções com n= 4 são

2,4,16,255
2,4,17,135
2,4,18,95
2,4,19,75
2,4,20,63
2,4,21,55
2,4,23,45
2,4,25,39
2,4,27,35
2,4,30,31
2,5,10,99
2,5,11,54
2,5,12,39
2,5,14,27
2,5,15,24
2,5,18,19
2,6,8,63
2,6,9,35
2,6,11,21
2,6,14,15
2,7,7,48
2,7,8,27
2,7,9,20
2,7,12,13
2,8,9,15
2,9,10,11
3,3,9,80
3,3,10,44
3,3,11,32
3,3,12,26
3,3,14,20
3,3,16,17
3,4,6,35
3,4,7,20
3,4,8,15
3,4,10,11
3,5,5,24
3,5,6,14
3,5,8,9
3,6,7,8
4,4,5,15
4,5,5,9
4,5,6,7

Esta lista foi gerada com maple, eu não sabia que ia ficar tão grande...

[]s, N.
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