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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] O caráter não enumerável de R
Se eu tô entendendo direito o que se tá perguntando, o Nicolau Saldanha
comentou do seguinte conjunto
N^(infinito)
que não é(esse é o problema) o conjunto que você tava comentando
N*N*N*N*...
produto cartesiano enumeráveis vezes dos naturais.
O conjunto que o Saldanha comentou é como ele esplicou o limite direto por
inclusões de N < N^2 < N^3 < ... o que baixando a bola é como a "união" de
todos eles, um jeito mais claro de definir isto é pegando a união de todos
os conjuntos
(N,0,0,0,0,... ) equivalente à N
(N,N,0,0,0,0... ) equivalente à N*N
(N,N,N,0,0,0,0... ) equivalente à N*N*N
(. . )
(. . )
(. . )
que é enumerável pelo seu raciocínio(união enumerável de conjuntos
enumeráveis é enumerável pelo o que é chamado argumento diagonal do Cantor).
MAS, repare que (1,1,1,1,1,1,1,...) não está em nenhum desses conjuntos logo
não está na união, da mesma forma todos aqueles elementos que não terminam
em infinitos zeros, ou seja os únicos elementos que pertencem ao nosso
conjunto são aqueles que tem todas as coordenadas zero a menos de finitas
coordenadas ou "quase-nulos".
Isto lucraria quase imediatamente que todos os números decimais são
enumeráveis(o que já era claro), mas muito mais interessante dele resulta o
fato de que os polinômios com coeficientes naturais ou inteiros são
enumeráveis(pois os polinômios são justamente sequências "quase-nulas" de
inteiros), o que implica que os números algébricos são enumeráveis(o que é
bem mais massa) pela definição números algébricos são aqueles que são raízes
de polinômios de coeficientes inteiros mas acaba que os algébricos é o
conjunto formado pelos números inteiros com finitas operações de soma,
multiplicação, divisão e radiciação que tipo
2/(sqrt(sqrt(5) + (2)^(1/3))+5^(1/5), o que de certa forma é natural(alguém
sabe uma demonstração simples??).
Enquanto o conjunto N*N*N*N*... tem uma bijeção com os números da forma
a+1/(b+1/(c...)...) {frações contínuas}
a,b,c,... que acabam por um argumento simples serem todos os reais
positivos. Se falarmos que
A^N=A*A*A*A*...(produto catesiano enumeráveis vezes)
teremos que N^(N)=reais=2^N (pela notação binária)=10^N(pela notação
decimal).
Acho que o comentário a seguir é meio técnico(formal) mas coloquei ele pra
dizer pelo menos o que eu entendo como "limite direto" a que o Nicolau
Saldanha se referiu e para quem quiser saber taí(se conhecerem outra
definição agradeceria).
A definição que conheço é por propriedade universal que para conjuntos fica:
Um conjunto A é limite direto de uma coleção de conjuntos A_i junto com as
funções injetoras f_i_j (como se um dentro do outro) se existem funções
injetivas g_i de cada um deles em A tal que (g_j(f_i_j))=g_i qualquer i,j em
I(ou compatível).
Bem abstrato não!!?
Quando essas funções injetoras são inclusões(função dele para ele mesmo com
imagem maior) o limite direto pode ser definido como a união desses
conjuntos
um exemplo:
os intervalos
[1,2] < [1/2,2] < [1/3,2] < [1/4,2]<...< [1/n,2],...
tem como limite direto (0,2]
Não definimos como união deles imediatamente por que a princípio eles podem
ser separados ( não um dentro do outro) como era no nosso problema original
N,N*N,N*N*N,... logo "mergulhamos" todos eles num conjunto grande que possua
eles naturalmente e temos as injeções naturais desejadas(N*N*N* vai em N*N
com (a,b) indo em (a,b,0) como inclusões e tomamos a união deles depois de
"mergulhados".
>From: "Laurito Alves" <lauritoalves@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Re: [obm-l] O caráter não enumerável de R
>Date: Tue, 10 Sep 2002 16:51:53 +0000
>
>Colegas,
>
>Ou estou viajando muito ou é certo que a união enumerável de conjuntos
>enumeráveis é enumerável ?
>
>Se me lembro bem, provamos este fato com um argumento semelhante ao que
>Cantor usou para provar a enumerabilidade de Q.
>
>Onde está meu erro ?
>
>Laurito
>
>
>>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] O caráter não enumerável de R
>>Date: Tue, 10 Sep 2002 08:48:38 -0300
>>
>>On Mon, Sep 09, 2002 at 10:31:07PM +0000, Laurito Alves wrote:
>> > O que você chama de N*N*N************ ???
>> >
>> > Se for um produto cartesiano de N uma quantidade enumerável de vezes,
>>ele é
>> > enumerável.
>>
>>O limite direto das inclusões (usando o sinal < no lugar de está contido)
>>
>>N < N^2 < N^3 < ...
>>
>>é o conjunto das seqüências de naturais que são zero a partir de certo
>>ponto; este conjunto é enumerável. Este conjunto às vezes é chamado
>>de N^(N) ou N^infty. Mas há outra interpretação: o conjunto N^N
>>de todas as seqüências de naturais (com qualquer comportamento no
>>infinito)
>>é não enumerável, tem o cardinal de R. Na verdade, via frações contínuas,
>>é fácil construir uma bijeção natural entre este conjunto e o dos números
>>irracionais.
>>
>>[]s, N.
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