[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]
Re: [obm-l] Circulo de 9 pontos e reta de Simson
>From: "leonardo mattos" <leonar_matt@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Circulo de 9 pontos e reta de Simson
>Date: Sat, 07 Sep 2002 01:51:58 +0000
>
>Ola pessoal,
>
>Gostaria muito de saber quais seriam as propriedades do circulo de 9 pontos
>e da reta de Simson.
> Um abraço,Leonardo
>
>
>
>
>
>_________________________________________________________________
>MSN Photos é a maneira mais fácil e prática de editar e compartilhar sua
>fotos: http://photos.msn.com.br
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
>=========================================================================
Da reta de Simson só sei a definição(dado um ponto no circuncírculo tome os
três pés com relação a cada um dos lados ou extensões estes três pontos são
sempre colineares e a reta que os contém é chamada reta de Simson).
Conheço melhor as propriedades do círculo dos nove pontos( na verdade estava
estudando isto justamente agora), bem para começar o círculo dos nove pontos
é o círculo que contém os três pontos médios dos lados e acaba que esse
círculo também contém os três pés das alturas e os pontos médios do
ortocentro com os vértices.
No triâgulo ABC, sejam H é o Ortocentro, O o centro do circuncírculo; Ma, Mb
e Mc os pontos médios dos lados a,b,c(opostos aos vértices A,B e C
respectivamente);Pa, Pb e Pc os pés das alturas; Ha, Hb e Hc os pontos
médios de HA, HB e HC.
1) Seu raio é metade do raio do circuncírculo.
2) Seu centro está no ponto médio do circuncentro com o ortocentro (a reta
que contémestes pontos se chama linha de Euler e contém também o
Baricentro).
3) Se H é o Ortocentro. Os triângulos ABC, AHB, BHC e CHA tem o mesmo
círculo dos nove pontos (na verdade os mesmos nove pontos).
4) (Teorema de Feuerbach's) Ele é tangente internamente ao incírculo e
externamente aos três ex-circuncírculos.
a) Com ele é possível demonstrar que HA=2OMa.
b) O centro do circuncírculo de AHB é o reflexo de O pelo lado AB.(por 3) e
1) eles tem o mesmo raio).
c) O reflexo do H por qualquer lado pertence ao circuncírculo.
Deve ter dado pra ver que este círculo é bem mágico.
Quanto a demonstração desses fatos a menos do 4) não são muito difíceis(se
você já viu antes). Tem uma demonstração do teorema dos nove pontos que eu
vi no livro do Coxeter "Introduction to Geometry" que demonstra dum jeito
bem simples(e mágico) mostrando primeiro que Ma, Mb, Mc, Ha, Hb e Hc estão
num mesmo círculo e que este cículo contém os pés das alturas é imediato(na
demonstração), não sei se já conhece mas vou colocar mesmo assim pra quem
quiser conhecer.
(// significa paralelo e A-B significa o segmento AB)
Demonstração:
Primeiro Ma-Mb // A-B (pontos médios) da mesma forma Ha-Hb // A-B.
Com a mesma idéia teremos Ma-Ha // H-C e Hb-Mb // H-C como H-C é
perpendicular à A-B temos que HaHbMaMb é um retângulo logo estes pontos
estão num mesmo círculo de diâmetros Ma-Ha e Mb-Hb(diagonais do retângulo) e
claro que seu centro está no ponto médio de Ma-Ha e Mb-Hb.
Se repetirmos esta idéia para os outros lados teremos outros três retângulos
com diagonais Ma-Ha, Mb-Hb e Mc-Hc que se cruzam em seus pontos médios logo
este ponto é o centro do círculo que passa por Ma, Mb, Mc, Ha, Hb e Hc.
Agora o golpe final o diâmetro Hc-Mc é a hipotenusa do triângulo retângulo
PcMcHc logo Pc também pertence ao círculo, e analogamente para os outros
pés.
Para um teorema desses não podia ter demonstração mais simples. Como isto se
relaciona com os outros fatos principalmente 1), 2), a), b) e c). Não fica
claro, apesar de a partir daí ser demonstrável. No entanto conheço outra
demonstração que demonstra tudo isso junto e que me parece menos mágico e
mais natural. Se quiserem ela me peçam que eu posso mandar para a lista. O
fato 4) tem uma demonstração por inversão(transformação geométrica legal) no
livro do Coxeter "Geometry Revisited" e neste livro também tem uma
demostração fácil das linhas de Simson .
Se você sabe um pouco de inglês recomendo os sites:
http://www.cut-the-knot.com/
Este site é o máximo tem muita geometria junto com as demonstracões e está
cheio de aplicativos interativos.
http://mathworld.wolfram.com/
Este é um site enciclopédico(provavelmete o melhor lugar pra procurar
propriedades e teoremas em geral mas em geral não tem demontrações mas ele
indica referências).
_________________________________________________________________
MSN Photos é a maneira mais fácil e prática de editar e compartilhar sua
fotos: http://photos.msn.com.br
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================