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Alo, alo pessoal !!!
-Eu quis dizer para considerar PI como o resultado da divis�o de dois
n�meros inteiros (isso � poss�vel pela defini��o dada por Leibniz do n� PI, em
que PI � o limite da sequ�ncia : 4 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - ... + 4/n , quando
n tende ao infinito e n � �mpar), logo embora isso n�o seja poss�vel na pr�tica,
faz sentido. Se voc� considerar um n� a de x casas decimais (em que x � o
menor valor poss�vel), logo a.10^x � inteiro. Eu apliquei o mesmo racioc�nio no
n� PI, o problema � que pela defini��o, PI tem infinitas casas decimais. Pela
dedu��o que eu apresentei, o n� de ra�zes seria o numerador da fra��o
irredut�vel entre 2 n�meros inteiros. Omenor valor poss�vel para esse
numerador � PI vezes 10 elevado ao n� de casas decimais de PI, que � infinito,
logo x^(PI)-5x^(PI-1)+3=0, possui infinitas solu��es.
-Outra solu��o al�m dessa e a apresentada pelo Paulo Santa Rita � a
seguinte:
Atribuindo aos polin�mios uma propriedade chamada semi-grau (acabei de
inventar esse nome e esse conceito), parecida com o grau.
Na equa��o: x^a + bx^c + dx^e + ... + n = 0, a � o semigrau dela, se e
somente se a>c,a>e,...(ou seja, somente se a � o maior expoente a que x �
elevado em qualquer de seus termos). Pela dedu��o, equa��es com semi-graus
iguais possuem um mesmo n� de solu��es complexas, note que a n�o �
necessariamente um n� inteiro. Logo x^(PI)-5x^(PI-1)+3=0, possui o mesmo n� de
raizes que x^Pi = 1.
Pelo 2� teorema de De Moivre: x = |1^(1/Pi)|.(i.sen(2k) +
cos(2k)) = 1.(i.sen(2k) + cos(2k)), com k inteiro. Como Pi � irracional, n�o
existem 2 ra�zes iguais para 2 valores diferentes de k, logo existem tantas
ra�zes quanto forem os valores poss�veis de k, ou seja existem infinitas
ra�zes.
Espero ter esclarecido.
Andr� T.
S�o Paulo-SP
Quanto � sua solu��o para o problema:
mostrar que existem infinitos x complexos tais que x^(PI)-5x^(PI-1)+3=0. Voc� fala em considerar (pi)/1 como uma fra��o irredut�vel, o que quer dizer isso? Afinal (pi) n�o � inteiro. Depois voc� fala em (pi)10^n valores de x, mas como isso � poss�vel se (pi) n�o � inteiro? Qual o sentido de 1.5 solu��es? Pelo que compreendi a sua solu��o est� baseada em aproxima��es de pi por n�meros racionais, ou algo assim, mas n�o saquei como funciona de fato. � interessante que �s vezes um m�todo informal esconde muito mais coisa que um todo talhado e bonitinho. Um grande abra�o! Eduardo. Porto Alegre, RS. |