Re: [obm-l] Dúvida

["498 - Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

> 
> 
> Olá colegas da lista,
> 
> Estou com uma dúvida e gostaria de saber se alguém poderia me ajudar:
> 
> Suponha uma seqüência de números reais, crescente, tal que a 
diferença entre termos sucessivos vai a zero. 
> Será que existe um limite finito para essa seqüência?
> 
> Muito obrigada,
> 
> Carol

Não Carol, não necessariamente. Considere, como contra-exemplo, a 
sequência de números reais dada por (L(n)) one L é o log natural. É 
imediato que esta sequência tende ao infinito. No entanto, temos que L
(n+1) - L(n) = L(1+1/n) Quando n vai para infinito, 1+1/n tende a 1 e L
(1+1/n) tende a ZERO. 

Observe qe a condição que vc apresentou NÃO garante que tenhamos uma 
seq. de Cauchy. Não basta que a diferença entre termos consecutivos 
tenda a zero. Por definição, (x(n) é de Cuchy se, dado qualquer eps >0, 
existir um natural k (em princípio, dependente de eps) tal que |xm - 
xn| <eps para QUAISQUER naturais m,n >= k. Logo, não podemos admitir 
qualquer relação pré-fixada entre m e n. No caso que vc apresentou, a 
condição só vale se m = n+1, logo,  NÃO temos uma seq. de Cauchy. 

Lembro que, nos espaços métricos completos, uma seq. é convergente se, 
e somente se, for de Cauchy.

Abraços
Artur


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