=?windows-1252?Q?Re:=20[obm-l]=20N=FAmeros=20Complexos?=

[Tonik <tonik@xxxxxxxxxx>]

02/09/02 13:22:18, Gabriel Pérgola <pergola@ieg.com.br> wrote:

>E aí pessoal,
>
>Gostaria de ver a resolução destes problemas de números complexos que não
>consegui fazer:

Sao exercicios simples, q vou fazer mais para me exercitar, pois sao mais 
trabalhosos do q desafiantes... cheque as contas!

>1) Obtenha o argumento de sen 40º + i cos 40º

obviamente, 40º

>2) Determine o menor valor inteiro e positivo de n para o qual (1 + i
>sqrt[3])^n é um numero real

para (1 + i*sqrt(3))^n ser real, seu argumento devera ser 0º ou 180º
ou k180º, k E Z, passando (1+isqrt(3)) para a forma trigonometrica, 
temos:
modulo = sqrt(1^2 + sqrt(3)^2) = sqrt(1+3) = 2
argumento = arccos(1/2) = 60º

entao temos (2*(cos60º+isen60º))^n =
= 2^n*(cos(60º*n)+isen(60º*n)
para que o argumento (60º*n) de 0º ou 180º com n>0, n E Z:

60*n=360º, n=6
60*n=180º, n=3

Logo a resposta eh 3.

>3) Determine o menor valor inteiro e positivo de n para o qual (1 + i
>sqrt[3])^n é um numero real positivo.

a mesma coisa, só que agora 180º nao serve (pois eh real negativo)
60*n=360, n=6

>4) Obtenha as raizes complexas das equacoes:
>    a) x^5 = 1
>    b) x^6 = 1

x^5 = 1
x= raizquintupla(1*(cos0+isen0))
x= cos(0/5 + 360k/5) + isen(0/5 + 360k/5), 0<=k<5, k E Z

as raizes:
x= cos0º+isen0º = 1 (nao eh complexa)
x= cos72º+isen72º
x= cos144º+isen144º
x= cos216º+isen216º
x= cos288º+isen288º

>5) Representando, no plano, as raizes complexas da equacao z^3 + 8 = 0,
>obtem-se um triangulo. Calcule a area desse triangulo.

z^3=-8 tem 3 raizes, por 3 ser impar, uma das raizes eh real
z= raizcubica(-8)
z= raizcubica( 8*(cos180º+isen180º) )
z= 2*(cos(180/3+360k/3)+isen(180/3+360k/3)), 0<=k<3
z= 2*(cos(60+120k)+isen(60+120k))
as raizes:
k=0, z=2*(cos60º+isen60º) = 2*(1/2 + i*sqrt(3)/2) = 1+i*sqrt(3)
k=1, z=2*(cos180º+isen180º) = 2*(-1 + i*0) = -2
k=2, z=2*(cos300º+isen300º) =
(sabe-se que 1+isqrt(3) eh raiz, entao seu conjugado, 1-isqrt(3) eh a 
terceira raiz)

entao temos os pontos do triangulo ABC no plano complexo:
A(1,  sqrt(3))
B(-2, 0)
C(1,  -sqrt(3))

Seja D a matriz:
|Ax Ay 1| 
|Bx By 1|
|Cx Cy 1|

Area = modulo do determinante de D sobre 2
Area = |sqrt(3)+2sqrt(3)-(-sqrt(3)-2sqrt(3))|/2
Area = 3sqrt(3)

>6) A quantidade de numeros complexos que tem o seu quadrado igual ao seu
>conjugado é?

Seja z um numero complexo, vc quer a qtde de nº complexos que
z^2 = conjugado de z

pela forma trigonometrica, seja m o modulo e a o argumento:

m^2*(cos(2a)+isen(2a)) = m*(cos(a)-isen(a))
sabemos que -sen(x) = sen(-x)
m^2*(cos(2a)+isen(2a)) = m*(cos(a)+isen(-a))
sabemos que m eh diferente de zero, pois senao o numero nao sera complexo. 
dividimos ambos os lados por m.
m*(cos(2a)+isen(2a)) = (cos(a)+isen(-a))
pela identidade:
(1) mcos2a = cosa
(2) msen2a = sen-a

(1) 2m*cos^2(a) - m = cosa
(2) 2m*cosa*sena = -sena

sabemos que sena nao eh zero, pois senao o numero nao sera complexo.

(1) m = cosa / (2cos^2(a) - 1)
(2) 2mcosa = -1
(2) cosa = -1/2m
(1) m = (-1 / 2m) / ( 2*(1/4m^2) - 1)
(1) m = (-1 / 2m) / ( 1/(2m^2) - 1)
(1) m = (-1 / 2m) / ((1-2m^2)/(2m^2))
os extremos pelos meios
(1) m = (-1 * 2m^2) / (2m * (1-2m^2))
(1) m = -2m^2 / (2m - 4m^3))
(1) 2m^2 -4m^4 = -2m^2
(1) -4m^4 + 4m^2 = 0
(1) m^4 -m^2 = 0
y = m^2
(1) y^2-y=0
(1) y(y-1) = 0
(1) ou y=0 --> m^2=0 --> m=0 o que nao devemos levar em conta no exercicio
(1) ou y=1 --> m^2=1 --> m=1 ou m=-1

para m=1:
(2) cosa = -1/2
(2) a = 120º
formando o numero complexo:
z = 1*(cos120º+isen120º)
z = -1/2 + i*sqrt(3)/ 2

para m=-1:
(2) cosa = 1/2
(2) a = 60º
formando:
z = -1*(cos60º+isen60º)
z = 1*(cos240º+isen240º)
z = -1/2 - i*sqrt(3)/2

Entao temos dois numeros complexos z tal que z^2 = conjugado de z 
e eles sao cos60º+isen60º e cos240º+isen240º

ufa, quanta conta, acho melhor tirar a prova...
z^2 = conjugado de z
(isqrt(3)/2 - 1/2)^2 = -1/2 -isqrt(3)/2
-3/4 - isqrt(3)/2 +1/4 = -1/2 -isqrt(3)/2
-1/2 - isqrt(3)/2 = -1/2 -isqrt(3)/2 (verdade)

z^2 = conjugado de z
(-1/2 -isqrt(3)/2)^2 = -1/2 +isqrt(3)/2
1/4 + isqrt(3)/2 - 3/4 = -1/2 +isqrt(3)/2
-1/2 + isqrt(3)/2 = -1/2 +isqrt(3)/2 (verdade)

>É isso! Agradeço qualquer ajuda.
>
>Gabriel Pérgola


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