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Se V estiver de mau humor, pare de ler aqui e delete a mensagem.
Esses matemáticos... (sou engenheiro)!
Não é muito mais simples digitar
Solve [a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e == 0, x]
no Mathematica e ver as fórmulas que dão as raízes?
JF
-----Mensagem Original-----
Enviada em: Segunda-feira, 26 de Agosto
de 2002 15:33
Assunto: Re: [obm-l] Grau 4(soluçao do
Gugu
Valeu,Santa Rita!!!!!!Apenas como complementaçao,vou apresentar a soluçao
do Gugu(esse mesmo,o Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira).
SOLUÇAO_GRAU 3
i)Sejam x_1,x_2 os zeros de P(x)=x^2+bx+c.Seja r_n(a)=raiz nª de a.
Seja y=r_3(x_0)+r_3(x_1).Ache r,s em funçao de b,c para os quais y^3+ry+s=0
ii)Inverta o processo anterior para achar uma raiz da cubica.
SOLUÇAO_GRAU 4
i)Sejam x_1,x_2,x_3 os zeros de P(x)=x^3-ax^2+bx+c. Seja
y=r_2(x_0)+r_2(x_1)+r_2(x_3).Ache k,n,m em funçao de a,b,c para os quais
y^4+ky^2+my+n=0.
ii)Inverta o processo anterior para achar uma raiz da quartica.
Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com> escreveu:
Ola
Daniel e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Seja aX^3 + bX^2 +
cX + d = 0 uma equacao do 3 grau. Usando a transformacao
aditiva Y=X+K,
isto e, substituindo todos os X da equacao por X=Y-K, voce
vai recair
numa equacao do 3 grau em Y.
Os coeficientes desta ultima equacao
serao funcoes de "K". Imponha que o
coeficiente do termo em X^2 seja
zero. Isso vai permitir a voce encontrar
"K" e reduzir a equacao a forma
:
eX^3 + fX + g = 0
dividindo tudo por "e", chegaremos a uma
equacao da forma :
X^3 + pX + q = 0
Tudo significa dizer que
resolvendo a equacao acima voce tera resolvido a
equacao geral do
terceito grau. Para resolve-la, seja :
X = A+B => X^3 = A^3 +
3(A^2)B + 3A(B^2) + B^3
X^3 = 3AB(A+B) + A^3 + B^3 como A+B=X
X^3 =
3ABX + A^3 + B^3
X^3 - 3ABX -(A^3+B^3) = 0
Daqui tiramos que
:
p = ! -3AB => AB=-p/3 => (AB)^3=-(p/3)^3
q = -(A^3 + B^3)
=> A^3 + B^3 = -q
Fazendo A^3=u e
B^3=v
uv=-(p/3)^3
u+v=-q
logo : u(-q-u)=-(p/3)^3 =>
u(u+q)=(p/3)^3
u^2 + qu -(p/3)^3=0
logo : u= [ -q +- raiz_2(q^2 +
4(p/3)^3) ]/2
introduzindo o 2 no radical :
u=(-q/2) +- raiz_2[(q/2)^2
+ (p/3)^3 ]
se voce usar o sinal posivito para "u", obtera "v" com o
negativo e
reciprocamente. Podemos, portanto, por :
u=(-q/2) +
raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ] e
v=(-q/2) - raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3
]
Mas A^3=u => A=raiz_3{ (-q/2) + raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ] }
e
B^3=v => B=raiz_3{ (-q/2) - raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ] }
Como
X=A+B, segue que :
X = raiz_3{ (-q/2) + raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ] }
+
raiz_3{ (-q/2) - raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ] }
Chamando (q/2)^2 +
(p/3)^3 = DELTA
X = raiz_3[(-q/2)+ raiz_2(DELTA)] +
raiz_3[(-q/2)-raiz_2(DELTA)]
Essa e a formula de Tartaglia. O DELTA,
tambe! m chamado de discriminante, e
tao importante para as equacoes do
3 grau como o seu homonimo e para as do 2
graus. Em particular
:
DELTA < 0 => tres raizes reais e distintas.
DELTA = 0
=> ao menos duas raizes iguais
DELTA > 0 => uma unica raiz
real.
Vemos que so tem sentido usar estas expressoes em conjuncao com
os numeros
complexos, que justamente tratam dos assuntos mais
interessantes...
Como voce ve, nao e nada espantoso a deducao destas
formulas e podemos com
tranquilidade mudar o percurso em varios pontos
de descobrir varias outras
maneiras de expor a solucao. Qualquer uma e
valida. E para um Matematico do
seculo XV ou XVI isto poderia ser
considerado um grande feito ...
Bom, agora, usando este fato, seja
:
ax^4 + bX^3 + cX^2 + dX + e=0
Usando a transformacao aditiva
Y=X+L, isto e, substituindo X=Y-L voce tera
uma equqcao do 4 grau em Y.
os coeficientes serao funcao de L. Imponha que o termo em Y^3 seja zero, isto dara uma equacao da forma :
fX^4 +
gX^2 + hX + i=0
coloque assim :
fX^4 + gX^2 = -hx -i
Agora
introduza duas variaveis ( grandezas desconhecidas ) M e N :
fX^4 + MX^2
+ gX^2 + N = MX^2 - hX + N - i
fX^4 + (M+g)X^2 + N = MX^2 - hX + (N -
i)
E diga : Esses dois trinomioas serao quadrados perfeitos se os seus
discriminantes forem nulos. Isto vai fornecer o sistema :
(M+g)^2
- 4fN=0
h^2 - 4M(N-i)=0
Na primeira : N = [(M+g)^2]/4f. Colocando
isso na segunda :
h^2 - 4M{[(M+g)^2]/4f - i}=0
Aqui esta ! Voce
agora tem uma equacao do 3 grau em M, pois os outros
valores sao todos
conhecidos. Calculando M pela formula que vimos acima
deduzimos
imediatamente o N, usando N = [(M+g)^2]/4f.
Para cada M e N que
satisfaz o sistema, a equacao :
fX^4 + (M+g)X^2 + N = MX^2 - hX + (N
- i)
Se transforma em dois trinomios quadrados perfeitos. A extracao
das raizes
vai gerar duas equ! acoes do 2 grau, cada uma, a priori, com
2 raizes. Isso
implica em 12 raizes ! Calma ! Elas estarao duplicadas :
no final voce vai
encontrar apenas as quatro raizes da equacao do 4
grau.
Como voce ve, nao e nada muito dificil. Tanto e assim que eu
pude colocar
tudo numa mensagem despretensiosa como essa : e apenas
burocracia e
malabarismo.
Exercicio : Sintetizando ou Extendendo
alguns dos passos acima, descubra
novas formas de resolucao para estas
equacoes.
Um Grande Abraco a Todos !
Paulo Santa
Rita
6,1954,230802
> Daniel escreveu:
Olá a todos,
> Gostaria de saber qual a fórmula resolutiva de
equações
>de grau 4 completa, em função dos coeficientes: ax^4 +
>bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 x = ? Daniel CARA,SUA
>PERGUNTA
MATA!Esse problema e pesadinho.Ja vi a soluçao do Gugu para a de
>terceiro grau.Quando eu tiver
paciencia,escrevo.
>
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