Re: [obm-l] Re: [obm-l] fatorial

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Dá pra fazer uma estimativas grosseiras. Do tipo
Para q = 1, 2, 3, ..., n nós temos
n^2/4 >= q(n-q) >= n, multiplicando todas essas desigualdades
(n^2/4)^n >= (1.2.3...n)^2 >= n^n, tirando a raiz quadrada
(n^2/4)^(n/2) >= n! >= n^(n/2), aplicando Log
(n/2) Log n^2/4 >= Log n! >= (n/2) Log n

Nós temos (n/2) Log n = 500 (3) = 1500 e
(n/2) Log n^2/4 = 500 (6 - Log 4) < 3000.

Portanto 1000! possui entre 1500 e 3000 casas decimais.

Já é um começo...

Para ter uma idéia mais precisa dá para usar integrais.
Queremos calcular
S = Log 1 + Log 2 + ... + Log n = (ln 1+...+ln n)/ln 10
nós temos
S ~ Int{ln(x), x=1...n}/ln 10 = (n ln n - n - 1)/ln 10
Numa calculadora a gente encontra  2566, bem perto da resposta.


Eduardo.


n^(n/2) > n! > (n^2/4)^(n/2), daí
n Log n > Log n! > (n/2) Log n

From: <bmat@zipmail.com.br>
> Bom, como ninguém respondeu antes, o número de casas de 1000! é 2568. Como
> eu descobri? Aí está o truque. Eu acho que esse problema só dá pra
resolver
> com Log ( e de preferência em base 10). A idéia é fazer log(1000!) =
somatório(log(x)
> , 1<= x <= 1000 ) e então ver quanto dá. Eu fiz no Matlab com um
programinha
> e deu
> 2567.604644222132264985702931880950927734375. Daí como o número de casas
> de um número numa base b é igual ao valor inteiro de  log(x) na base b
MAIS
> UM, dá 2568.
>
> É isso. Se alguém por acaso tiver uma idéia de como calcular o número de
> casas SEM ter que usar um computador, mande aí que eu também quero saber!
>
> Abraços,
> Bernardo
>
> -- Mensagem original --
>
> >
> >
> >Vou tentar encerrar essa historia desse fatorial.
> >
> >2^5  *   5^5 = 10^5 termina por 5 zeros
> >2^3  *  5^2 = 10^2  * 2  termina por dois zeros
> >O que voce tem de descobrir eh a maior potencia de 10 contida na
> >decomposiçao do numero. E claro que o expoente da portencia serah o
> >menor dentre os expoentes de 2 e de 5 na decomposiçao do numero em
> >fatores primos.
> >
> >Eh claro tambem que no caso de um fatorial o menor dos dois expoentes
> >serah o expoente do 5 (ha muito mais multiplos de 2 do que de 5, de 1 a
>
> >1000).
> >Vamos decompor o 1000! em fatores primos, desprezando os fatores
> >diferentes de 5.
> >
> >1000! = 1* 2*3*4*5*6*...*1000 ~5*10*15*...*1000 =
> >5*5*5*...*5*(1*2*3*...*200)~
> >5^200 *  (1*2*3*...*200)~ 5^200 * (5*10*15*... *200) ~ 5^200  *
> >5*5*5*...*5 *(1*2*3*...*40)
> >=5^200  *  5^40 * (1*2*3*...*40) = 5^240 *(1*2*3*...*40) ~ 5 ^240
> >(5*10*15*...*40) =
> >5^240  *  5*5*5*...*5 *(1*2*3*...*8)  =  5^240 * 5^8  *(1*2*3*...*8)
> >~5^240 * 5^8  * 5  = 5^249
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