[obm-l] Re: [obm-l] questão IME

["Eder" <edalbuquerque@xxxxxxxxxx>]

Se provarmos que k^5 - k é múltiplo de 10,o problema estará acabado.Vejamos:


i)Pelo Pequeno Teorema de Fermat,temos que k^5=k (mod 5),ou seja,existe c
inteiro tal que k^5-k=c*5.Então k^5-k é múltiplo de 5.
ii)K^5-k=k(k^4-1)=k(k^2-1)(k^2+1)=(k-1)k(k+1)(k^2+1).Observe a presença de
dois interios consecutivos: k e k+1 ou k e k-1 e k.Dentre eles,um é
necessariamente par,o que torna todo o produto múltiplo de 2.

Sendo k^5-k múltiplo de 2 e de 5 ao mesmo tempo,podemos concluir que k^5-k é
múltiplo de 10.Acabado o problema.


Não sei se podemos simplesmente escrever o que está escrito no item i,se a
banca aceitaria.Pensemos outra forma de provar que k^5-k é M5...

Bom,todo inteiro pode ser escrito numa das seguintes formas:
5m,5m+1,5m+2,5m+3 e 5m+4,m inteiro.Daí:

i)Se k=5m,perfeito.
ii)Se k=5m+1,então k-1=5m,perfeito.
iii)Se k=5m+2,então k^2+1= 25m^2+20m+5,que é M5,perfeito.
iv)Se k=5m+3,entãok^2+1=25m^2+30m+10,que é M5,perfeito.
v)Se k=5m+4,então k+1=5m+5,que é M5,perfeito.

Essa seria outra forma.


Eder

----- Original Message -----
From: rafaelc.l <rafaelc.l@bol.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, August 10, 2002 5:25 PM
Subject: [obm-l] questão IME


>
>  Por favor, me ajudem a resolver a questão
> abaixo que caiu no IME.
>
>
>  Provar que para qualquer numero inteiro k,
> os números k e k^5 terminam sempre com o
> mesmo algarismo das unidades.
>
>
>
>
>
>                             obrigado
>
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