[obm-l] Números primos

["Edilon Ribeiro da Silva" <edilon.silva@xxxxxxxxxxx>]

Olá pessoal, aí vai um probleminha que um amigo me propôs. Também vai a minha solução. Não sei se está correta, pois não conheço a resposta certa. Se alguém achar que tem falha, por favor me diga.
 
A questão é:
 
- Quantos números primos p positivos existem tal que p^(2n) + p^(2n+1) seja um quadrado perfeito, para todo n natural?
 
Minha solução:
 
Seja s = p^(2n) + p^(2n+1). Como s deve ser um quadrado perfeito, então tem que existir m tal que s = m^2. Mas s pode ser fatorado da seguinte forma s = p^(2n)*[p + 1]. Como 2n é sempre um número par, o problema agora é encontrar a quantidade de primos p positivos tal que p+1 seja um quadrado perfeito. Dessa forma, tem que existir k tal que p+1=k^2, isso implica p=k^2-1, ou seja, p = (k-1)*(k+1). Desta última igualdade percebe-se que p é o produto de dois número. Ora, mas p é primo e, para que seja escrito como o produto de dois números, esses números só podem ser 1 e p [-1 e -p não podem ser pois p é positivo]. Assim, ou k-1 = 1 e k+1=p ou k-1=p e k+1=1. Disto podemos tirar:
 
            1) k-1=1 implica k=2
                k+1=p implica p=3, que é primo
 
            2) k+1=1 implica k=0
                k-1=p implica p=-1, que não é nem primo nem positivo, por isso não serve.
 
Conclusão: Existe apenas um primo p [p=3] que satisfaz a condição.
 
Edilon Ribeiro.
 
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