RE: [obm-l] Mdc's

[Ralph Teixeira <RALPH@xxxxxx>]

Bom, escreva a como o produtorio de um bando de primos p_i com expoentes
a_i, o mesmo para b (p_i com expoente b_i) e c (p_i com expoente c_i).

Entao o expoente de p_i em cada uma das expressoes abaixo eh:

(a,b) : min(a_i,b_i)
(a,c) : min(a_i,c_i)
(a,bc): min(a_i,b_i+c_i)

Portanto, o expoente em (?) seria

min(a_i,b_i) + min(a_i,c_i) - min(a_i,b_i+c_i)

Serah que tem alguma maneira mais simples de escrever isto? Tenho minhas
duvidas.... Isso pode ser varias coisas. Suponha SPOG que b_i<=c_i.

(i) Se a_i < b_i entao dah a_i+a_i-a_i = a_i
(ii) Se b_i<=a_i<=c_i entao dah b_i+a_i-a_i = b_i
(iii) Se c_i<=a_i<=b_i+c_i entao dah b_i+c_i-a_i
(iv) Se b_i+c_i<=a_i entao dah b_i+c_i-(b_i+c_i) = 0

Entao dah o menor dos tres quando a_i nao eh o maior.
Se a_i eh o maior, dah max(b_i+c_i-a_i,0). Vejamos... Seria isso

min(a_i,b_i,c_i,max(b_i+c_i-a_i,0)) =
= min(a_i,b_i,c_i,(max(b_i+c_i,a_i)-a_i))

Eh, acho que serve. Se estiver certo:

? = (a,b,c,(mmc(bc,a)/a))

Bom, aqui ve-se rapido que se dois deles forem primos entre si, ? dah 1.
Fora isso, em geral, acho que ? = (a,bc)/[(a,b)(a,c)] era mais simples... :)

Abraco,
      Ralph

-----Original Message-----
From: Eduardo Casagrande Stabel
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: 7/20/02 12:37 PM
Subject: [obm-l] Mdc's

Oi Pessoal da lista,

discutindo com um membro da lista, chegamos a uma duvida (pouco precisa)
mas
que pode ser, talvez, um problema interessante. Se alguém souber algo
sobre
o assunto, seremos muito gratos.

Lá vai.

Sejam a, b e c números naturais, e seja (,) a função que calcula o mdc
entre
dois números. Temos que (a,bc) é um divisor de (a,b)*(a,c) (demonstre
isso!), a pergunta:
- ache uma expressão para (?) na expressão
(?)*(a,bc) = (a,b)*(a,c)

Se vocês virem alguns casos simples, verão que quando (b,c)=1 temos
(?)=1,
por exemplo.

Um abraço!
Eduardo.

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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