[obm-l] Questão antiga obm

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Ola pessoal! Essa solução é boa?

Questão.
Provar que existe um algarismo diferente de 0 entre a 1.000.000-ésima e a
3.000.000-ésima casa decimal de r=raiz(2).

Seja M=10^(10^6). Suponhamos por absurdo que seja falso o enunciado, daí
existe um inteiro 0<a<M e um real 0<=b<=1 tal que
raiz(2) = aM^(-1) + bM^(-3), elevando ao quadrado e multiplicando por M^2
2M^2 - a^2 = 2abM^(-2) + b^2M^(-4) (*)
o lado esquerdo de (*) é inteiro e no lado direito
0 <= 2abM^(-2) + b^2M^(-6) < 2MM^(-2) + M^(-6) = 2M^(-1) + M^(-6) < 1
Portanto 2M - a^2 é um inteiro em [0,1) logo raiz(2) = a/M que é racional,
absurdo!

Eduardo Casagrande Stabel.
Porto Alegre, RS.


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