Re: [obm-l] Teoria dos Numeros

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, Jul 14, 2002 at 04:45:19PM -0300, adr.scr.m wrote:
> Determine todos inteiros positivos 
> x,y,z,tais  que z divide xy-1,x divide zy-1
> e y divide zx-1.

Este problema 'e bem legal. Vou pular umas linhas antes de dar a solu,c~ao
para que os outros tentem fazer sozinhos, vale a pena.

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Uma solu,c~ao trivial 'e x=y=z=1. Qualquer outra solu,c~ao pode ser tomada
da forma 1<x<y<z, x,y e z primos entre si. Temos

xy = 1+az
xz = 1+by
yz = 1+cx

A partir da primeira equa,c~ao temos z=(xy-1)/a e substituindo na 2a eq
temos (x^2 - ab)y = x+a. Como da 1a equa,c~ao devemos ter a <= x segue
que 0 < x+a < 2y donde y = x+a e x^2 - ab = 1. Segue dai que z = x+b
donde

(x+a)(x+b) = 1+cx

ou

x^2 + ax + bx + ab = 1 + cx
(2x + a + b - c) x = 2

e a 'unica solu,c~ao n~ao trivial 'e x=2,y=3,z=5.

[]s, N.

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