Re: [obm-l] Raizes de polinômios

["Arnaldo" <arnoldrjbr@xxxxxxxxxx>]

>Ola mais uma vez,
>
>essa é uma questão de matemática que o Daniel Lavouras me propos e eu não
>soube resolver também.
>
>Seja P(x) um polinômio. Quanto valem as somas das potências n-esimas (n é
>inteiro positivo) das n raizes de P(x)?
>
>Essa questão talvez já tenha vindo à lista.
>
>O algorítmo que ele me mostrou dizia o seguinte. Pega-se o polinômio da
>derivada de P e divide ele por P, pelo método tradicional de divisão de
>polinômios, a gente vai obter uma coisa do tipo
>
>S_0/x + S_1/x^2 + S_2/x^3 + ...
>
>(pode ser que essa soma não seja convergente para cada x, mas isso não
>interessa)
>
>O Daniel me afirmou que as somas das potências n-ésimas das raizes de P(x)

>a_1, a_2,..., a_k é igual a S_n ou seja
>(a_1)^n + (a_2)^n + ... + (a_k)^n = S_n
>e eu não soube provar isso.
>
>A minha primeira idéia foi fatorar o polinômio
>P(x) = a(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_k)
>E daí
>P'(x) = a(x-a_2)...(x-a_k) + a(x-a_1)(x-a_3)...(x-a_k) + ... +
>a(x-a_1)...(x-a_(k-1))
>Portanto vale
>P'(x)/P(x) = 1/(x-a_1) + 1/(x-a_2) + ... + 1/(x-a_k)
>Fazendo a divisão de cada 1/(x-a_i) se chega a
>1/x + a_i/x^2 + (a_i)^2/x^3 + ...
>somando todos esses resultados eu chego ao resultado pretendido. So que
>acontece que não sei se isso vale como uma demonstração formal, pois não sei

>se esse processo de obter séries que não convergem é único independente da

>ordem da divisão e parcelamento em somas. Alguém pode me esclarecer a
>questão e talvez dar uma resolução mais simples para o problema inicial?
>
>Grato,
>
>Eduardo Casagrande Stabel.
>Porto Alegre, RS.
>
>
>Este resultado que vc quer provar sobre as raizes é uma teorema conhecido como
Teorema de Girard. Vc deve fatorar o polinomio como vc fez. Aplique log de ambos
os lados e derive, a razao entre P´(x) e P(x) aparece naturalmente, e aí acho
que vc consegue continuar usando série de potências.

Espero que tenha ajudado,
Arnaldo.
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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