[obm-l] Raizes de polinômios

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Ola mais uma vez,

essa é uma questão de matemática que o Daniel Lavouras me propos e eu não
soube resolver também.

Seja P(x) um polinômio. Quanto valem as somas das potências n-esimas (n é
inteiro positivo) das n raizes de P(x)?

Essa questão talvez já tenha vindo à lista.

O algorítmo que ele me mostrou dizia o seguinte. Pega-se o polinômio da
derivada de P e divide ele por P, pelo método tradicional de divisão de
polinômios, a gente vai obter uma coisa do tipo

S_0/x + S_1/x^2 + S_2/x^3 + ...

(pode ser que essa soma não seja convergente para cada x, mas isso não
interessa)

O Daniel me afirmou que as somas das potências n-ésimas das raizes de P(x)
a_1, a_2,..., a_k é igual a S_n ou seja
(a_1)^n + (a_2)^n + ... + (a_k)^n = S_n
e eu não soube provar isso.

A minha primeira idéia foi fatorar o polinômio
P(x) = a(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_k)
E daí
P'(x) = a(x-a_2)...(x-a_k) + a(x-a_1)(x-a_3)...(x-a_k) + ... +
a(x-a_1)...(x-a_(k-1))
Portanto vale
P'(x)/P(x) = 1/(x-a_1) + 1/(x-a_2) + ... + 1/(x-a_k)
Fazendo a divisão de cada 1/(x-a_i) se chega a
1/x + a_i/x^2 + (a_i)^2/x^3 + ...
somando todos esses resultados eu chego ao resultado pretendido. So que
acontece que não sei se isso vale como uma demonstração formal, pois não sei
se esse processo de obter séries que não convergem é único independente da
ordem da divisão e parcelamento em somas. Alguém pode me esclarecer a
questão e talvez dar uma resolução mais simples para o problema inicial?

Grato,

Eduardo Casagrande Stabel.
Porto Alegre, RS.



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