Re: [obm-l] Risch algorithm

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal,

Em teoria da computacao se aprende que a integracao e um processo algoritmo, 
assim como a diferenciacao.

o ALGORITMO DE RISCH e um desenvolvimento do teorema de um trabalho de 
Laplace que permite fazer da integracao analitica um algoritmo assim como 
fazemos hoje com a diferenciacao.

Nao e um algoritmo simples, mas, em poucas palavras consiste em exprimir a 
integral de uma funcao como um COMBINACAO LINEAR  de LOGARITMOS. O algoritmo 
propriamente dito e justamente o metodo de calcular os coeficientes desse 
desenvolvimento ...

integrla Fdx = A + somatorio (Bi.LOG Ci)

Encontrar A, Bi e Ci e o algoritmo propriamente dito.

Segundo  a tese de Church, a todo procedimento efetivo corresponde uma 
maquina de turing. Segue que as funcoes algoritmicas sao passiveis de serem 
programadas para serem executadas por um computador ( com maior ou menor 
complexidade ). Sera que as atividades que nos sao proprias sao justamente 
aquelas que nao sao algoritmicas ? Isto e, a nossa humanidade se revela so 
em atividades nao algoritmicas ?

Parece trivial que se uma atividade pode ser feita por um homem e por uma 
maquina, entao : atribua esta tarefa a maquina, pois e um a tarefa 
algoritmica, logo, inferior. Mas, se for assim, o que resta ? Quasi sao os 
afazeres tipicos relacionados as atividades nao-algoritmicas ? Que 
tecnologia sai dai ?

Um abraco
Paulo Santa Rita
2,1952,080702







>From: "Luis Lopes" <llopes@ensrbr.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: [obm-l] Risch algorithm
>Date: Mon, 8 Jul 2002 18:28:24 -0300
>
>Sauda,c~oes,
>
>Não sabia como obter f(x)=x^{x+1}  do email abaixo.
>Então escrevi pro prof. Rousseau novamente.
>Como havia um engano na resposta dele, mando
>este email somente para fazer o registro.
>
>Para os que gostam da transformada de Laplace,
>mais um exemplo do uso desta ferramenta.
>
>Lamento a notação exótica.
>
>===
>Dear Luis:
>
>It seems that  I made a mistake.  The result I get now seems
>to be slightly different from the one that I quoted.  The way that
>I took may be the long way around, but this is how I proceeded.
>Start with the Laplace transform of t^n:
>
>\int_0^{\infty} t^n e^{-st} dt = n!/s^{n+1}.
>
>Replace n by n-1 and set s = n+1.  Thus
>
>\int_0^{\infty} t^{n-1} e^{-(n+1)t} dt = \frac{(n-1)!}{(n+1)^n}.
>
>Thus (formally) the series in question is given by
>
>1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^n}
>= 1 + \int_0^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(t e^{-t})^{n-1}}{(n-1)!}
>e^{-2t} dt  = 1 + \int_0^{\infty} exp(t exp(-t)) e^{-2t} dt.
>
>Now set u = e^{-t} so the integral becomes
>
>\int_0^{\infty} exp(t exp(-t)) e^{-t} dt = \int_1^0 \frac{1}{u^u} u (-du)
>= \int_0^1 \frac{u du}{u^{u}}.
>
>Thus the sum of the series is
>
>1 + \int_0^1 \frac{u du}{u^u}.
>
>This checks numerically using Maple.  It follows that there is an exact
>formula for the sum of the series if and only if there is one for the
>integral.  I'll stick by my conviction that this is highly unlikely.  I
>haven't done it, but I believe that the Risch algorithm will show that the
>antiderivative of u/u^u is not an elementary function.  This doesn't
>complete the story since there are definite integrals that one can
>evaluate even though you can't express the indefinite integral as
>an elementary function (for example \int_0^{\infty} exp(-x^2) dx).
>
>Cheers,
>
>Cecil
>===
>
>[]'s
>Luis
>
>===
>As for the other question, I would be exceedingly surprised if
>the series in question has closed form sum.  Of course, one can
>re-express the series sum as an integral; a quick calculation gives
>
>\int_0^1 x^{x+1} dx,
>
>and I am confident that one prove (using the Risch algorithm) that
>x^{x+1} has no antiderivative in elementary terms.   While this
>doesn't completely settle the issue, it comes close.
>===
>
>Para registrar, o problema 2 era
>
>2) Calcule S = 1 / (1+n)^n =
>= 1 + 1/2 + 1/3^2 + 1/4^3 + ....
>
>Agora uma pergunta: alguém conhece esse algoritmo
>de Risch? Nunca ouvi falar disso. E então aquela outra
>soma que apareceu por aqui - S = \sum 1 / n^n  -
>recentemente deve ter o mesmo tratamento e conclusão:
>nada de forma fechada.
>
>[]'s
>Luís
>
>
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