Re: [obm-l] matrizes

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Oi Rafael,

o produto de matrizes obedece �s propriedades.
(AB)C = A(BC)
A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC
da� segue que se
AB = C e B � invers�vel ent�o
(AB)B^(-1) = CB^(-1), multipliquei � direita por B^(-1)
A(BB^(-1)) = AI = A = CB^(-1)

Voc� est� usando (erradamente) a comutatividade: AB = BA, que como o Morgado
falou n�o � v�lida para todos os pares de matrizes A e B.

Uma das utilidades das matrizes � para representar transforma��es lineares
entre espa��es vetoriais de dimens�o finita. Por exemplo: se L: R^n -> R^n �
uma transforma��o linear, ent�o existe uma matriz A tal que
L(v) = Av para todo v de R^n
e reciprocamente a fun��o v->Av � uma tranforma��o linear para qualquer
matriz A.

Nesse sentido vale a seguinte propriedade
Sejam L e U duas tranforma��es lineares de R^n em R^n e A e B suas
respectivas matrizes, ou seja
L(v) = Av e U(v) = Bv para todo v de R^n
� f�cil de demonstrar que a fun��o composta L(U) � ainda uma transforma��o
linear de R^n em R^n e logo existe uma matriz C tal que
L(Uv) = Cv para todo v de R^n
� interessante observar que C � justamente C = BA.
Essa � a grande motiva��o para se definir o produto de matrizes do modo como
� definido. Das regras de composi��o de fun��es se sabe que L(U(V)) =
(L(U))(V) do que segue a propriedade A(BC) = (AB)C para matrizes. Da
defini��o (L + U)(V) = L(V) + L(U) para fun��es quaisquer segue (A + B)C =
AC + BC. Finalmente a propriedade A(B + C) requer a linearidade de A, a
saber, A(u + v) = Au + Av.

Todas essas informa��es b�sicas e muito mais coisas voc� vai encontrar num
bom livro de �lgebra linear como o do Elon Lages Lima ou do Hoffman e Kunze.

Um abra�o!

Eduardo Casagrande Stabel.
Porto Alegre, RS.


From: "rafaelc.l" <rafaelc.l@bol.com.br>


 Se A.B=C, ent�o A=C.B^(-1) e B=A^(-1).C, sendo A e B
matrizes invers�veis. Mas poderia ser A=B^(-1).C e B=C.A^
(-1)?


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> Rafael,
>
> se A.B = C e B � invers�vel A = C.B^(-1), e se A � invers�vel B =
A^(-1).C.
> Uma matriz X � invers�vel, por defini��o, se existe uma matriz Y tal que
X.Y
> = I = Y.X. Portanto s� se pode falar em matrizes invers�veis quando as
> matrizes s�o quadradas. Nem toda matriz quadrada � invers�vel. N�o �
costume
> se dividir matrizes.
>
> Tu fez a implica��o
> M^t = M^(-1) implica M^t.M = I
> se for isso, est� certo. Primeiro voc� precisa supor que M � invers�vel
da�
> em
> M^t = M^(-1) multiplique � direita por M
> M^t.M = M^(-1).M = I.
>
> O livro de �lgebra Linear do Elon Lages Lima vai te fornecer muito mais
> esclarecimentos.
>
> Eduardo Casagrande Stabel.
> Porto Alegre, RS.
>
> From: "rafaelc.l" <rafaelc.l@bol.com.br>
> > Pode-se falar em divis�o de matrizes?
> >  tipo: sejam A, B, C matrizes quaiquer. Se AxB=C ent�o
> > A=C/B e B=C/A?
> >    Ou se M � uma matriz de ordem 3, sendo [M]t=[M]-1,
> > ent�o [M]t=I/M, logo [M]tx[M]=I. Operar desta maneira �
> > valido para todos os casos?
> >
> > OBS: [M]t � matriz transposta de M
> >      [M]-1 � matriz inversa de M
> >
> >
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