Re: [obm-l] Funcao

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Jul 03, 2002 at 05:17:31PM +0000, Arnaldo wrote:
> Seja f:[0,1]->[0,1] monotona crescente. Mostre que f possui um ponto fixo.
> 
> Abraços Arnaldo.

O problema mais conhecido é com f contínua, mas vejamos este seu.

Se f(0) = 0 ou f(1) = 1 acabou, donde podemos supor
f(0) > 0 e f(1) < 1. Assim o conjunto X = {x em [0,1] | f(x) > x}
inclui 0 mas não inclui 1. Seja z o supremo de X.
Afirmamos que f(z) = z.

Suponha que f(z) < z. Neste caso, z > 0.
Seja y um elemento de X com f(z) < y < z.
Como y pertence a X temos y < f(y) donde f(z) < f(y), contradizendo
a hipótese de f ser crescente.

Suponha que f(z) > z. Neste caso, z < 1.
Para qualquer y, z < y < f(z), temos f(y) >= f(z)
donde f(y) > y donde y pertence a X. Assim o sup de X é >= f(z),
contradizendo a hipótese de ser z.
 
Assim, f(z) = z. 

[]s, N.
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