[obm-l] Ajuda - Limite....

["Fernando Henrique Ferraz P. da Rosa" <mentus@xxxxxx>]

         Estou tentando resolver esse limite faz tempo mas não está saindo 
de jeito algum.. É o seguinte:
     lim [x -> 0+] x^(tan(x²)).

Meus esboços:
             x -> 0... tan(x²) -> 0.... temos 0^0...
             Colocando na forma exponencial: (exp(y) = e^(y)):
              x^tan(x²) = exp(ln(x^tan(x²)) = exp(tan(x²).ln(x)).
              Ficamos então com o seguinte limite:
      lim [x-> 0+] tan(x²).ln(x).
              tan(x²) -> 0
              ln(x) -> -infinito
              Temos entao 0.-infinito.. indeterminação...
              'Transformando' isso numa fração para poder usarmos L'Hospital:
a) Fazendo tan(x²).ln(x) = ln(x)/(1/tan(x²))
               lim [x-> 0+] ln(x)/(1/tan(x²))
               ln(x) -> -infinito
               1/tan(x²))  = cotg(x²) -> infinito
                infinito/infinito outra indeterminacao.. aplicando L'Hospital:
                lim [x-> 0+] ln(x)/cotg(x²) = lim [x->0+] 
(1/x)/-2x.cossec²(x²) =
                lim [x-> 0+] 1/(-2x²cossec²(x²))
                Agora temos -2x² -> 0
                 e cossec²(x²) -> infinito...
                0.infinito.. mais uma indeterminacao....
                1/0.infinito.. Nao podemos mais aplicar L'Hospital e sei la 
como sair daqui...

b) Outra opcao serial fazer tan(x²).ln(x) = tan(x²)/(1/ln(x)), dai:
                 lim [x->0+] tan(x²)/(1/ln(x))..
                  dai temos tan(x²) -> 0
                   1/ln(x) -> 0
                  0/0, indeterminação, aplicamos L'Hospital:
                 lim [x->0+] tan(x²)/(1/ln(x)) = lim [x->0+] 
2x.sec²(x²)/(-1/ln²(x).x) =
                 lim [x->0+] 2x².sec²(x²).ln²(x).x
                 2x² -> 0
                  sec²x² -> 1
                  ln²(x) -> infinito
                  x -> 0...
                  0.1.0.infinito.. epa.. outra indeterminação...

c)... já esgotei todas as idéias que me vieram e ainda não consegui sair 
disso.. alguem tem alguma luz?

BTW... a resposta é 1.. Então esse limite (lim [x-> 0+] tan(x²).ln(x)) tem 
que dar 0.



"As long as a branch of science offers an abundance of problems,
     so long it is alive."
           David Hilbert.

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[]'s
Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa
mentus@gmx.de
Estatística USP [ http://www.linux.ime.usp.br/~feferraz ]

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