Re: [obm-l] Axiomas de Peano

["Rogerio Fajardo" <rogeriofajardo@xxxxxxxxxxx>]

Aproveitando que o assunto é axiomas de peano, é possível definir aritmética 
usando só os axiomas de peano (usando lógica de 1ªordem e os símbolos 0 e 
sucessor de)? Dá pra fazer uma espécie de teorema da recursão nos axiomas de 
Peano? Ou será necessário usar lógica de segunda ordem, ou esquema de prova?


>From: "Bruno F. C. Leite" <bruleite@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Axiomas de Peano
>Date: Tue, 18 Jun 2002 16:03:38 -0300
>
>At 15:29 18/06/02 -0300, you wrote:
>>Na Eureka 3, p. 26,  há um artigo de Elon Lages Lima chamado "O Princípio 
>>da
>>Indução", onde o autor afirma que o conjunto N dos números naturais é
>>caracterizado pelas seguintes propriedades:
>>
>>A) Existe função s: N -> N, que associa a cada n pertencente a N um 
>>elemento
>>s(n) pertecente a N, chamado o sucessor de n.
>>
>>B) A função s: N-> N é injetiva.
>>
>>C) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1 != s(n) para todo n
>>pertencente a N.
>>
>>D) Se um subconjunto X contido em N é tal que 1 pertence a N e s(X) está
>>contido em X.
>
>Não me lembro do artigo, mas isto está certo mesmo?
>  Acho que o certo é "se um subconjunto X contido em N é tal que 1 pertence 
>a N e se n está em X implica que s(n) também está, então X=N" (princípio de 
>indução)
>
>Com isso o conjunto que você falou (V) não satisfaz a última condição.
>
>Bruno Leite
>http://www.ime.usp.br/~brleite
>
>
>
>>As afirmações A, B, C e D são os axiomas de Peano.
>>
>>Agora vem a minha dúvida. Imagine o conjunto de números:
>>V = {0, 1, 2, 3, ...} U {a}, onde o elemento 'a' não pertence a {0, 1, 2, 
>>3,
>>...}
>>e a função injetiva s: V -> V onde:
>>s(x) = a, se x=a; senão s(x) = x+1
>>
>>Temos, então, o conjunto V e a função s que satisfazem os axiomas de 
>>Peano.
>>Dessa forma, podemos dizer que V é o conjunto dos número naturais, mas não
>>é!!!!!
>>Qual o problema aí???
>>
>>Alguém pode esclarecer a minha dúvida?
>>
>>Obrigado
>>
>>Vinicius Fortuna
>>
>>
>>
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>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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